Схема предиктор-корректор

Схема предиктор-корректор (метод прогноза и коррекции, предсказывающе-исправляющий метод^[1]) — в вычислительной математике — семейство алгоритмов численного решения различных задач, которые состоят из двух шагов. На первом шаге (предиктор) вычисляется грубое приближение требуемой величины. На втором шаге при помощи иного метода приближение уточняется (корректируется).

Являются одними из наиболее популярных многошаговых методов.^[2]

Методы, использующие схему п.-к.

• Метод Милна — для ОДУ^[3]
• метод (схема) Хойна (предиктор — Метод Эйлера, корректор — Метод трапеций)^[4]

При использовании схемы п.-к. для решения ОДУ отмечают высокую точность расчета и отсутствие свойства самостартуемости (то есть для начала вычислений по схеме п.-к. требуется предварительно воспользоваться другим, самостартующим методом)^[5]

• Метод Адамса-Башфорта — параллельный п.-к. для решения нежестких краевых задач^[6] (используется корректор Адамса-Адамса-Мултона^[7])

• Формулы Хемминга^[8]

Пример

Предположим, что необходимо решить обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) первого порядка. При этом уже известны значения $y_0$ и $y_1$ в моменты времени $t_0$ и $t_1$. Через эти точки можно провести линию, описанную кубическим уравнением (используя производные в этих точках, полученные из ОДУ) и затем продолжить эту линию до точки $\tilde{y}_2$ в момент времени $t_2$, $t_2>t_1$. Используя новое значение $\tilde{y}_2$ и производную в этой точке $\tilde{y}^'_2$ вместе с предыдущими точками, возможна более точная интерполяция производной между моментами времени $t_1$ и $t_2$, и, соответственно, возможно более точное приближение к $y_2$. Интерполяция и последующее интегрирование составляют шаг коррекции.

Примечания

1. ↑ Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple, Matlab ISBN 978-5-8459-1166-7 стр.192
2. ↑ Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, page 942 «…multistep… Predictor-corrector is a particular subcategory of these methods — in fact, the most widely used»
3. ↑ Milne’s Method // Wolfram MathWorld
4. ↑ http://www.nsc.ru/rus/textbooks/akhmerov/nm-ode/1-3.html "1.3.2. Схема Хойна, или предиктор-корректор."
5. ↑ ums.usu.ru/st/NUM_04.PDF ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция № 4: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Cлайд 10
6. ↑ Реферативный журнал: Матема&#10 …
7. ↑ Introductory methods of numerical … — S.S. Sastry — Google Books
8. ↑ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЕ

Литература

• Section 17.6. Multistep, Multivalue, and Predictor-Corrector Methods // Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. — 3rd. — Cambridge University Press, 2007. — ISBN 978-0-521-88068-8

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Predictor-Corrector Methods (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Метод предиктор-корректор для дифференциальных уравнений  (англ.)

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.