Супернатуральные числа

Супернатуральные числа

Супернатуральные числа (иногда также именумые обобщённые натуральные числа или числа Стейница) являются обобщением натуральных чисел. Супернатуральное число \omega является формальным произведением:

\omega = \prod_p p^{n_p},

где p может быть любым простым числом, а каждое n_p является или натуральным числом, или бесконечностью. Иногда пишут v_p(\omega) для обозначения n_p. Если не выполняется условие n_p = \infty и имеется только конечное число ненулевых n_p, тогда мы получаем полностью натуральный ряд чисел. Супернатуральные числа позволяют расширить ряд натуральных чисел, используя возможность бесконечного числа простых факторов, и позволяют делить любое данное простое число \omega «бесконечно много», приравнивая показатель экспоненты к бесконечности.

Не существует естественного пути определить сложение для супернатуральных чисел, но они могут быть перемножены \prod_p p^{n_p}\cdot\prod_p p^{m_p}=\prod_p p^{n_p+m_p}. Аналогичным образом на них распространяется понятие делимости \omega_1\mid\omega_2 если v_p(\omega_1)\leq v_p(\omega_2) для всех p. Мы можем также ввести для супернатуральных чисел понятие наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель, определив

\displaystyle \operatorname{lcm}(\{\omega_i\}) \displaystyle =\prod_p p^{\sup(v_p(\omega_i))}
\displaystyle \operatorname{gcd}(\{\omega_i\}) \displaystyle =\prod_p p^{\inf(v_p(\omega_i))}

С помощью этих алгоритмов мы сможем как получить наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель для бесконечного количества натуральных чисел, так и провести аналогичную процедуру для супернатуральных чисел.

Мы также можем распространить обычные p-адические функции на супернатуральные числа, определив v_p(\omega)=n_p для каждого p.

Супернатуральные числа используются для определения порядков и индексов проконечных групп, и благодаря этому удалось обобщить на проконечные группы многие теоремы о конечных группах.

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Супернатуральные числа" в других словарях:

  • Конструктивные способы определения вещественного числа — При конструктивном подходе к определению вещественного числа вещественные числа строят, исходя из рациональных, которые считают заданными. Во всех трёх нижеизложенных способах за основу берутся рациональные числа и конструируются новые объекты,… …   Википедия

  • Двойные числа — О гиперкомплексных числах параболического типа см. дуальные числа Двойные числа или паракомплексные числа, расщепляемые комплексные числа, комплексные числа гиперболического типа  гиперкомплексные числа вида « », где и   вещественные… …   Википедия

  • Дуальные числа — или (гипер)комплексные числа параболического типа гиперкомплексные числа вида , где и   вещественные числа, и . Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел и . Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную …   Википедия

  • Кубические простые числа — Кубические простые числа  это простые числа, которые являются решением одного из двух кубических уравнений третей степени от переменных x и y. Первое из них: [1] и первые несколько таких кубических простых чисел: 7, 19, 37, 61, 127, 271, 331 …   Википедия

  • Вещественное число — Вещественное, или действительное число [1] математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение… …   Википедия

  • Простое число — Простое число  это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа больше единицы… …   Википедия

  • Число — У этого термина существуют и другие значения, см. Число (значения). Число  основное понятие математики[1], используемое для количественной характеристики, сравнения и нумерации объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей… …   Википедия

  • Комплексное число — Запрос «Мнимая величина» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «Re» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «Im» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Комплексные[1] числа (устар. Мнимые числа …   Википедия

  • Рациональное число — Четверти Рациональное число (лат. ratio  отношение, деление, дробь)  число, представляемое обыкновенной дробью , числитель   целое число, а знаменатель   …   Википедия

  • Иррациональное число — Иррациональное число  это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби , где   целые числа, . Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»