Список матриц


Список матриц
Структура матрицы

Здесь собраны наиболее важные классы матриц, используемые в математике, науке (в целом) и прикладной науке (в частности).

Под матрицей понимается прямоугольный массив чисел, называемых элементами. Матрицы имеют длинную историю исследований и приложений, что приводит к различным способам их классификации. Первая группа матриц удовлетворяет конкретным условиям и ограничениям на их элементы, включая постоянные матрицы. Важный пример матриц такого вида доставляет единичная матрица:


I_n = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}.

Обозначается также буквой E. Другие способы классификации матриц связаны либо с их собственными значениями, либо с условиями в виде матричных уравнений (соотношений). Наконец, во многих областях (в физике и в химии) встречаются матрицы специального вида, которые применяются исключительно в этих областях.

Содержание

Матрицы, определяемые условиями на элементы

Данный ниже список матриц определяется условиями, которые накладываются на элементы матриц. Многие из таких свойств оказываются применимыми только к квадратным матрицам. В квадратной матрице имеются две диагонали: главная диагональ (идущая из левого верхнего угла в правый нижний угол) и побочная диагональ (идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол).

Матрицы общего вида

Матрицы, представленные ниже, характеризуются тем, что условия на элементы матриц описываются в терминах структуры матрицы. Сюда относится взаимное расположение ненулевых элементов, а также свойства инвариантности относительно матричных преобразований.

Название Описание Примечания, пояснения
Бинарная матрица Матрица, состоящая из нулей и единиц. Синонимы: булевская матрица, логическая матрица.
Матрица альтернанса Матрица, элементы которой представляют собой значения функций в определённых точках. a_{i,j} = f_j(\alpha_i)
Нулевая матрица Матрица, полностью состоящая из нулей. a_{ij} = 0
Антидиагональная матрица (англ.) Квадратная матрица, все элементы которой, лежащие вне побочной диагонали, равны нулю.
Антиэрмитова матрица (англ.) Синоним косо-эрмитовой матрицы.
Антисимметричная матрица Синоним кососимметричной матрицы.
Стрелочная матрица (англ.) Квадратная матрица, все элементы которой равны нулю, кроме элементов первого столбца, первой строки и главной диагонали.
Ленточная матрица (англ.) Квадратная матрица, все ненулевые элементы которой примыкают к главной диагонали.
Бидиагональная матрица (англ.) Матрица, все ненулевые элементы которой находятся на главной диагонали и на одной из под- или наддиагонали.
Бисимметричная матрица (англ.) Квадратная матрица, симметричная как относительно главной диагонали, так и относительно побочной диагонали.
Блочно-диагональная матрица Блочная матрица, у которой имеются матрицы только на главной диагонали.
Блочная матрица Матрица, которая разбита на подматрицы, называемые блоками.
Блочно-трёхдиагональная матрица (англ.) Блочная матрица, чьи блоки организованы так же, как у трёхдиагональной матрицы.
Булевская матрица (англ.) синоним для (0,1)-матрицы, бинарной матрицы и логической матрицы.
Матрица Коши (англ.) Матрица, каждый элемент которой имеет вид aij=1/(xi+yj), где xi и yj — две инъективные последовательности
Центросимметричная матрица Матрица, симметричная относительно своего центра, то есть: aij = ani+1,nj+1
Матрица согласованности (англ.) Квадратная матрица с нулевыми элементами на диагонали и элементами вида +1 и −1 вне диагонали, такая, что CTC — единичная матрица.
Комплексная матрица Адамара (англ.) Матрица, все строки и столбцы которой попарно ортогональны друг другу, а сами элементы унимодулярны.
Сопозитивная матрица (англ.) Квадратная матрица с вещественными элементами такая, что квадратичная форма xTAx оказывается неотрицательной для каждого неотрицательного x. f(x)=x^TAx
Доминантная матрица (англ.) Матрица, элементы которой удовлетворяют указанному здесь условию: |a_{ii}| \geq \sum_{j\neq i} |a_{ij}| \quad\text{for all } i, \,
Диагональная матрица Матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.
Элементарная матрица (англ.) Матрица, которая получается из единичной при помощи элементарных преобразований.
Эквивалентная матрица (англ.) Матрица, которая получается из другой матрицы при помощи элементарных преобразований над строками или столбцами.
Матрица Фробениуса Матрица, которая получается из единичной при помощи сдвига и добавления нового столбца.
Неотрицательная матрица (англ.) Матрица, все элементы которой неотрицательны.
Матрица перестановки Квадратная матрица, в которой в каждом столбце и в каждой строке стоит ровно одна единица, а остальные нули. Является матричным представлением перестановки.
Персимметричная матрица (англ.) Матрица, симметричная относительно побочной диагонали: aij = anj+1,ni+1
Полиномиальная матрица Матрица, все элементы которой суть полиномы.
Положительная матрица (англ.) Матрица, все элементы которой положительны.
Матрица кватернионов Матрица, все элементы которой представляют собой кватернионы.
Матрица знака (англ.) Матрица, все элементы которой — 1, 0 и (-1).
Матрица сигнатуры (англ.) Матрица, все элементы которой — либо 1, либо (-1).
Косо-эрмитовая матрица (англ.) Матрица, которая противоположна по знаку своей сопряжённой.
Кососимметричная матрица Матрица, которая противоположна по знаку своей транспонированной.
Небесная матрица (англ.) Ленточная матрица, реорганизованная таким образом, чтобы уменьшить занимаемое пространство.
Разреженная матрица Матрица, практически полностью состоящая из нулей. Алгоритмы для разреженных матриц позволяют обрабатывать бо́льшие матрицы, чем для плотных
Матрица Сильвестра Квадратная матрица, чьи элементы — это коэффициенты двух полиномов. Матрица Сильвестра не вырождена тогда и только тогда, когда два полинома взаимно просты.
Симметричная матрица Квадратная матрица, которая совпадает со своей транспонированной: A = AT (ai,j = aj,i).
Тёплицева матрица Матрица, у которой на диагоналях стоят одни и те же элементы.
Треугольная матрица Матрица, у которой все элементы выше главной диагонали нулевые (нижнетреугольная матрица), или матрица, у которой все элементы ниже главной диагонали нулевые (верхнетреугольная матрица).
Трёхдиагональная матрица Матрица, у которой все ненулевые элементы располагаются на трёх диагоналях: главной, первой сверху и первой снизу..
Унитарная матрица Квадратная матрица, которая совпадает с своей комплексно-сопряжённой, A−1 = A*.
Матрица Вандермонда Матрица, строки (или столбцы) которой представляют собой последовательные степени: 1, a, a², a³.
Матрица Уэлша (англ.) Квадратная матрица размера равного степени двойки, состоящая из элементов +1 или −1.
Z-матрица Матрица, все недиагональные элементы которой меньше нуля.
Ганкелева матрица Квадратная матрица, у которой на каждой побочной диагонали стоят равные элементы.

Преобразованные матрицы

Постоянные матрицы

Матрицы, представленные ниже, характеризуются тем, что их элементы являются одними и теми же для всех возможных размеров матриц.

Название Описание Условия на элементы Примечания
Матрица перемен (англ.) Бинарная матрица, у которой на побочной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы нулевые. aij = δn + 1 − i, j См. Матрица перестановки.
Матрица Гильберта (англ.) aij = (i + j − 1)−1. См. Генкелевая матрица.
Единичная матрица Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю. aij = δij
Матрица Лемье (англ.) aij = min(i, j) ÷ max(i, j). См. положительную симметричную матрицу.
Матрица единиц (англ.) Матрица, все элементы которой суть единицы. aij = 1.
Матрица Паскаля (англ.) Матрица, состоящая из элементов треугольника Паскаля.
Матрица Паули Блочная матрица, состоящая из блоков размера 2 × 2, каждый из которых представляет собой комплексную эрмитовую и унитарную матрицу.
Матрица Редхерера (англ.) aij = 1, если i делится на j или если j = 1; в противном случае, aij = 0. См. (0, 1)-матрица.
Матрица сдвига (англ.) Матрица, у которой на одной из побочных диагоналях стоят единицы, а остальные элементы нулевые. aij = δi+1,j or aij = δi−1,j Умножением на эту матрицу элементы сдвигаются на одну позицию.
Нулевая матрица Матрица, у которой все элементы нулевые. aij = 0.



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Список матриц" в других словарях:

  • Список алгоритмов — Эта страница информационный список. Основная статья: Алгоритм Ниже приводится список алгоритмов, группированный по категориям. Более детальные сведения приводятся в списке структур данных и …   Википедия

  • Матрица (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Матрица. Матрица  математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет… …   Википедия

  • Альтернативная матрица — Не следует путать с Альтернирующей матрицей (англ.)русск.. Содержание …   Википедия

  • Диагональная матрица — Диагональная матрица  квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю. Содержание 1 Определение 2 Обозначение 3 Свойства …   Википедия

  • Трёхдиагональная матрица — Не следует путать с матрицей Якоби отображения. Трёхдиагональной матрицей или матрицей Якоби[1] называют матрицу следующего вида …   Википедия

  • Лауреаты Государственной премии СССР в области науки и техники (1967—1979) — Список лауреатов Содержание 1 1967 2 1968 3 1969 4 1970 5 1971 6 …   Википедия

  • Кеплер (телескоп) — У этого термина существуют и другие значения, см. Кеплер. Космический телескоп «Кеплер» Организация …   Википедия

  • Матрица (фото) — Матрица на печатной плате цифрового фотоаппарата У этого термина существуют и другие значения, см …   Википедия

  • Программируемые алгоритмы —       Служебный список статей, созданный для координации работ по развитию темы.   Данное предупреждение не устанавл …   Википедия

  • Жидкокристаллический дисплей — Часы с ЖК дисплеем …   Википедия