Угловая скорость

Угловая скорость
$\omega$
Размерность	T −1
Единицы измерения
СИ	рад/с
СГС	рад/с
Другие единицы	градус/с, оборот/с, оборот/мин

Угловая скорость (синяя стрелка) в одну единицу по часовой стрелке

Угловая скорость (синяя стрелка) в полторы единицы по часовой стрелке

Угловая скорость (синяя стрелка) в одну единицу против часовой стрелки

Углова́я ско́рость — векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:

$\omega_z=\frac{d\varphi}{dt}$,

а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть, в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону.

Единица измерения угловой скорости, принятая в системах СИ и СГС — радианы в секунду. (Примечание: радиан, как и любые единицы измерения угла, — физически безразмерен, поэтому физическая размерность угловой скорости — просто [1/секунда]). В технике также используются обороты в секунду, намного реже — градусы в секунду, грады в секунду. Пожалуй, чаще всего в технике используют обороты в минуту — это идёт с тех времён, когда частоту вращения тихоходных паровых машин определяли просто «вручную», подсчитывая число оборотов за единицу времени.

Вектор (мгновенной) скорости любой точки (абсолютно) твердого тела, вращающегося с угловой скоростью $\vec \omega$, определяется формулой:

$\vec v = [\ \vec \omega, \vec r\ ],$

где $\vec r$ — радиус-вектор к данной точке из начала координат, расположенного на оси вращения тела, а квадратными скобками обозначено векторное произведение. Линейную скорость (совпадающую с модулем вектора скорости) точки на определенном расстоянии (радиусе) $r$ от оси вращения можно считать так: $v = r \omega.$ Если вместо радианов применять другие единицы углов, то в двух последних формулах появится множитель, не равный единице.

• В случае плоского вращения, то есть когда все векторы скоростей точек тела лежат (всегда) в одной плоскости («плоскости вращения»), угловая скорость тела всегда перпендикулярна этой плоскости, и по сути — если плоскость вращения заведомо известна — может быть заменена скаляром — проекцией на ось, ортогональную плоскости вращения. В этом случае кинематика вращения сильно упрощается, однако в общем случае угловая скорость может менять со временем направление в трехмерном пространстве, и такая упрощенная картина не работает.
• Производная угловой скорости по времени есть угловое ускорение.
• Движение с постоянным вектором угловой скорости называется равномерным вращательным движением (в этом случае угловое ускорение равно нулю).
• Угловая скорость (рассматриваемая как свободный вектор) одинакова во всех инерциальных системах отсчета, однако в разных инерциальных системах отсчета может различаться ось или центр вращения одного и того же конкретного тела в один и тот же момент времени (то есть будет различной «точка приложения» угловой скорости).
• В случае движения одной единственной точки в трехмерном пространстве можно написать выражение для угловой скорости этой точки относительно выбранного начала координат:

$\vec\omega = \frac{\vec r \times \vec v}{(\vec r,\vec r )}$, где $\vec r$ — радиус-вектор точки (из начала координат), $\vec v$ — скорость этой точки. $\vec r \times \vec v$ — векторное произведение, $(\vec r,\vec r )$ — скалярное произведение векторов. Однако эта формула не определяет угловую скорость однозначно (в случае единственной точки можно подобрать и другие векторы $\vec \omega$, подходящие по определению, по другому — произвольно — выбрав направление оси вращения), а для общего случая (когда тело включает более одной материальной точки) — эта формула не верна для угловой скорости всего тела (так как дает разные $\vec \omega$ для каждой точки, а при вращении абсолютно твёрдого тела по определению угловая скорость его вращения — единственный вектор). При всём при этом, в двумерном случае (случае плоского вращения) эта формула вполне достаточна, однозначна и корректна, так как в этом частном случае направление оси вращения заведомо однозначно определено.

• В случае равномерного вращательного движения (то есть движения с постоянным вектором угловой скорости) декартовы координаты точек вращающегося так тела совершают гармонические колебания с угловой (циклической) частотой, равной модулю вектора угловой скорости.

• При измерении угловой скорости в оборотах в секунду (об/с), модуль угловой скорости равномерного вращательного движения совпадает с частотой вращения f, измеренной в герцах (Гц), то есть в таких единицах $~~\omega = {f}$. В случае использования обычной физической единицы угловой скорости — радианов в секунду — модуль угловой скорости связан с частотой вращения так: $~~\omega = {2\pi f}$. Наконец, при использовании градусов в секунду связь с частотой вращения будет: $~~\omega = {360 f}$.

Связь с конечным поворотом в пространстве

• Пусть поворот, изменяющийся во времени, задан величиной угла $\;\theta (t)$ и ортом оси конечного поворота в пространстве $\vec{n}(t)$. Тогда угловая скорость, соответствующая этому повороту, равна

$\vec{\omega} = \vec{n} \dot{\theta} + \dot{\vec{n}} \sin \theta + \vec{n} \times \dot{\vec n} (1 - \cos \theta)$.

• Если поворот задан матрицей поворота $T_{ij} = n_i n_j + (\delta_{ij} - n_i n_j) \cos \theta - n_k \epsilon_{ijk} \sin \theta$, где $\;\delta_{ij}$ — символ Кронекера, $\varepsilon_{ijk}$ — символ Леви-Чивиты (суммирование ведется по правилу Эйнштейна от 1 до 3), выражение для элементов которой через $\;\theta$ и $\vec{n}$ могут быть получены, например, с помощью формулы Родрига, то угловая скорость равна

$\omega_i = \frac{1}{2} \varepsilon_{ijk} T_{jn} \dot{T}_{kn}$.

• Если для описания поворота используется кватернион, выражаемый через угол $\;\theta$ и орт оси поворота $\vec{n}$ как $q = \bigl(\cos (\theta/2), \vec{n} \sin (\theta/2)\bigr)$, то угловая скорость находится из выражения $\left(0, \vec{\omega}\right) = 2 \, \dot{q} \, \overline {q}$.

• В случае, когда поворот описывается с помощью вектора $\vec{V} = \vec{n} \operatorname{tg} (\theta/4)$, изменяющегося во времени, обозначим $\vec{W} = d \vec{V} / d t\ \bigl(W_i = d V_i / d t\bigr)$, а также $T_{ij}^{1/2} = n_i n_j + (\delta_{ij} - n_i n_j) \cos (\theta/2) - n_k \epsilon_{ijk} \sin (\theta/2)$ — матрица половинного поворота $\;\bigl(T_{ij}^{1/2} T_{jk}^{1/2} = T_{ik}\bigr)$, $\;V^2$ — квадрат модуля вектора $\vec{V}$. Тогда угловая скорость:

$\omega_i = \frac{4 T_{ij}^{1/2} W_{j}}{1 + V^2}$.

См. также

• Угловая частота
• Угловое ускорение
• Момент импульса

Литература

• Лурье А. И. Аналитическая механика\\ А. И. Лурье. - М.: ГИФМЛ, 1961. - С. 100-136