Портфельная теория Марковица

Портфельная теория Марковица (англ. mean-variance analysis — подход, основанный на анализе ожидаемых средних значений и вариаций случайных величин) — разработанная Гарри Марковицем методика формирования инвестиционного портфеля, направленная на оптимальный выбор активов исходя из требуемого соотношения доходность/риск. Сформулированые им в 1950-х годах идеи составляют основу современной портфельной теории^[1].

История возникновения

Основные положения портфельной теории были сформулированы Гарри Марковицем при подготовке им докторской диссертации в 1950—1951 годах.

Рождением же портфельной теории Марковица считается опубликованная в «Финансовом журнале» в 1952 году статья «Выбор портфеля»^[2]. В ней он впервые предложил математическую модель формирования оптимального портфеля и привёл методы построения портфелей при определённых условиях^[3]. Основная заслуга Марковица состояла в предложении вероятностной формализации понятий доходность и риск, что позволило перевести задачу выбора оптимального портфеля на формальный математический язык^[4]. Надо отметить, что в годы создания теории Марковиц работал в Rand Corp., вместе с одним из основателей линейной и нелинейной оптимизации — Джорджом Данцигом и сам участвовал в решении указанных задач. Поэтому собственная теория, после необходимой формализации, хорошо ложилась в указанное русло.

Марковиц постоянно занимается усовершенствованием своей теории и в 1959 году выпускает первую посвящённую ей монографию «Выбор портфеля: эффективная диверсификация инвестиций»^[5].

В 1990 году, когда Марковицу вручают Нобелевскую премию, выходит книга «Средне-дисперсионный анализ при выборе портфеля и рынка капитала»^[6].

Описание теории

После проведённой Марковицем формализации, с математической точки зрения задача по формированию оптимального портфеля представляла собой задачу квадратической оптимизации при линейных ограничениях^[4]. Этот класс задач, является одним из наиболее изученных классов оптимизационных задач, для которых существует большое число эффективных алгоритмов^[7].

Для построения пространства возможных портфелей Марковиц предложил использовать класс активов, вектор их средних ожидаемых доходностей и матрицу ковариаций^[4].

На основе этих данных строится множество возможных портфелей с различными соотношениями доходность-риск^[4].

Так как в основе анализа лежат два критерия, менеджер выбирает портфели^[4]:

• Либо поиском эффективных, или неулучшаемых решений. В этом случае любое другое решение, лучше найденных по одному параметру обязательно будет хуже по другому.
• Либо выбирая главный критерий (например, доходность должна быть не ниже определённой величины) остальные используя лишь в качестве критериальных ограничений.
• Либо задавая некий суперкритерий, который является суперпозицией указанных двух (например, их функцией).

Математическая формулировка и решение задач

Портфель Марковица минимального риска

Задача оптимизации портфеля активов с вектором средней доходности $r$ ковариационной матрицей $V$ может быть сформулирована следующим образом

$\begin{cases} \sigma_p^2=d^TVd \rightarrow \min \\ d^T r=r_p \\ d^Te=1 \\ \end{cases}$

К этим условиям в задаче оптимизации портфеля активов следует добавить условие положительности портфеля (долей). Однако, в общем случае финансовых инструментов предполагается возможность открытия коротких позиций (отрицательных долей инструментов в портфеле). Тогда можно найти общее аналитическое решение задачи. Если обозначить,

$A= \begin{pmatrix} r^T \\ e^T\\ \end{pmatrix} V^{-1} (r,e)= \begin{pmatrix} r^T V^{-1} r & r^T V^{-1} e\\ e^T V^{-1} r & e^T V^{-1} e\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{pmatrix}$

то решение задачи имеет вид

$d^*= V^{-1}(r,e) A^{-1} \begin{pmatrix} r_p\\ 1\\ \end{pmatrix}$

Тогда зависимость дисперсии оптимизированного (эффективного) портфеля от требуемой доходности будет иметь вид

$\sigma_p^2 = (r_p, 1) A^{-1} \begin{pmatrix} r_p \\ 1 \end{pmatrix} =\frac{a_{22}r_p^2-2a_{12}r_p+a_{11}}{a_{11}a_{22}-a_{12}^2}=\sigma_0^2 \frac{(r_p-r_0)^2} {r_0(r_1-r_0)}+\sigma_0^2$

где $\sigma_0^2=1/a_{22}, r_0=a_{12}/a_{22}$ — минимально возможная дисперсия доходности портфеля и соответствующая ему средняя доходность

$r_1=a_{11}/a_{12}$ — доходность портфеля, с соотношением риск-доходность таким же как и портфель минимального риска (графически это единственная точка пересечения с параболой прямой, проходящей через начало координат и вершину параболы)

Портфель Тобина минимального риска

При наличии безрискового актива (с нулевой дисперсией доходности) с доходностью $r_f$ формулировка задачи меняется

$\begin{cases} \sigma_p^2=d^TVd \rightarrow \min \\ d^T (r-r_fe)=r_p-r_f \\ d_f=1-d^Te \end{cases}$

Решение этой задачи имеет вид

$d^*=\frac {r_p-r_f}{(r-r_fe)^T V^{-1}(r-r_fe)} V^{-1}(r-r_fe)$

Вектор структуры рискового портфеля (доли рисковых активов не во всем портфеле, а в общей стоимости рискового портфеля) будет равен

$d^{**}=\frac {V^{-1}(r-r_fe)}{e^T V^{-1}(r-r_fe)}$

Видно, что структура рисковой части портфеля не зависит от требуемой доходности. Требуемая доходность определяет лишь соотношение рискового портфеля и безрискового актива.

Средняя доходность рискового портфеля будет равна

$r^{**}_p=r^Td^{**}=\frac {r^TV^{-1}(r-r_fe)}{e^T V^{-1}(r-r_fe)}=\frac {a_{11}-r_f a_{12}}{a_{12}-r_f a_{22}}=\frac {r_0(r_1-r_f )}{r_0-r_f }$

Стандартное отклонение оптимального (эффективного) портфеля зависит от требуемой доходности линейно, а именно следующим образом

$\sigma_p=\frac {r_p-r_f}{\sqrt {(r-r_fe)^T V^{-1}(r-r_fe)}}= \frac {\sigma_0(r_p-r_f)}{\sqrt {(r_f-r_0)^2-r_0(r_1-r_0)}}$

Нетрудно также определить связь средней доходности отдельных инструментов от средней доходностью портфеля. Для этого определим вектор коэффициентов

$\beta=\frac {Vd^*} {\sigma_p^2}=\frac {r-r_fe} {r_p-r_f} \Rightarrow r-r_fe=\beta (r_p-r_f)$

Отсюда получаем, что если инвесторы рациональны, то рыночный портфель условно можно считать эффективным, следовательно на рынке средняя доходность инструмента связана с доходностью рыночного портфеля следующим линейным образом

$r-r_f=\beta (r_M-r_f)$

Это модель оценки финансовых активов — CAPM

Примечания

1. ↑ Гитман Л. Дж., Джонк М. Д. Основы инвестирования. Пер. с англ. — М.: Дело, 1997. — 1008 с. ISBN 0-06-0423625 (англ.) ISBN 5-7749-0011-8 (русск.). Стр. 810
2. ↑ Markowits Harry M. Portfolio Selection // Journal of Finance. 1952. 7. № 1 pp. 71-91
3. ↑ Евсенко Ольга Сергеевна. Инвестиции в вопросах и ответах. Учебное пособие.
4. ↑ ^{1 2 3 4 5} Ю. Ф. Касимов. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг — М: Информационно-издательский дом «Филинъ», 1998. — 144 сю ISBN 5-89568-086-0
5. ↑ Markowitz H. M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investment. Wiley. New York. 1959.
6. ↑ Markowitz H. M., Mean Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets. Basil. Blackwell. 1990.
7. ↑ Bazaraa M. S., Sherali H.D., Shetty C. M. Nonlinear Programming (2nd ed.) Wiley & Sons, 1994.

Для улучшения этой статьи желательно?: Добавить иллюстрации.