- Позиционные коды векторов
-
Содержание
Специальная алгебра многомерных векторов[1]
Специальное умножение
В этой алгебре умножение определяется по аналогии с умножением комплексных чисел следующим образом. Таблица умножения комплексных чисел имеет вид
1 i 1 1 i i i -1 где i - мнимая единица. Таблица умножения трехмерных векторов имеет вид
i j k i i j k j j k -i k k -i -j где i, j, k - орты. Таблица умножения четырехмерных векторов имеет вид
i j k m i i j k m j j k m -i k k m -i -j m m -i -j -k где i, j, k, m - орты, и т.д. Этим вполне определяется умножение векторов [2]. Однако, это умножение не имеет ничего общего с векторным или скалярным умножением векторов и, в отличие от них, обозначается в дальнейшем символом
и называется специальным умножением. Умножение, определенное такими таблицами для ортов, является ассоциативным и коммутативным. Следовательно, специальное умножение любых векторов векторного пространства также будет ассоциативным и коммутативным [2]. Таким образом, множество всех n-мерных векторов составляет кольцо относительно операций обычного сложения и специального умножения. Иными словами, указанные таблицы определяют в n-мерном пространстве ассоциативную и коммутативную алгебру без деления [2].
Вектор не изменяется при умножении на орт.
Деление [3]
Деление в этой алгебре определяется как операция, обратная умножению. Однако, если деление чисел недопустимо только при делителе, равном нулю, то в этой алгебре деление недопустимо при множестве значений делителя. Это множество для, например, трехмерных векторов определяется следующим образом. Если вектор делителя
,
то множество недопустимых значений этого делителя определяется условием
.
Возведение в целую степень
Вектор в нулевой степени равен
.
Возведение вектора в целую степень n > 0 определяется как многократное умножение. Например, для ортов трехмерных векторов,
,
.
Для трехмерных векторов выполняется условие
. Следовательно,
,
и
,
. Таким образом, орт в степени (-1) определяется непосредственно из таблицы умножения.
Возведение орта в целую степень n < 0 определяется как многократное умножение известного вектора - орта в степени (-1).Покомпонентное умножение
Этот термин используется для наименования операции (здесь и далее рассматриваются трехмерные векторы) специального умножения вектора
на упорядоченную тройку векторов
. Покомпонентное умножение обозначается как
и состоит в вычислении по формуле
.
Если
то
Взаимосвязь с традиционными операциями
Применяя последнюю формулу, можно выразить традиционные операции с векторами через покомпонентное умножение.
Скалярное умножение
,
где вектор
имеет орт
.
Векторное умножение
.
Поворот вектора
Рассмотрим прямую с ортом
,
проходящую через начало координат. Пусть вокруг этой прямой по окружности некоторого радиуса вращается точка, причем ее радиус-вектор переходит из положения
в положение
. Если, кроме того, вращение производитсмя против часовой стрелки (при наблюдении с конца вектора
) и угол поворота
, то
.
Эта формула преобразуется к виду
, где кординаты векторов
выражаются через (α,β,γ,φ)[1]. .
Центроафинное преобразование
В трехмерном пространстве центроафинное преобразование, при котором точка с вектором
переходит в точку с вектором
, описывается формулой
,
где указанные выше координаты векторов
являются параметрами этого преобразования. Рассматривая формулу скалярного умножения, находим, что центроафинное преобразовние эквивалентно покомпонентному умножению
,
где
.
Позиционные коды векторов
Метод позиционного кодирования основан на представлении кодируемого объекта в виде суммы
,
где k - целое число,
- число, принимающее значения из определенного множества,
- основание системы кодирования. В частности, существует система кодирования комплексных чисел по основанию
, где j – мнимая единица,
и
, а R - целое положительное число (например, R=2) [4].
По аналогии с этим в [1] предложена позиционная система кодирования векторов по основанию, где
– второй орт в таблице специального умножения векторов, n - размерность векторов,
. В частности, существует двоичная система кодирования векторов, в которой R=2 и
. Необходимое для этого возведение орта
в целую (положительную или отрицательную) степень рассмотрено выше.
Позиционный код вектора
представляет собой запись цифр α, имеющую вид
.
Этот же вектор можно рассматривать как сумму
,
где
,
При этом код вектора можно рассматривать как композицию трех кодов следующего вида
,
где
.
Здесь коды чисел X, Y, Z являются двоичными кодами чисел по основанию (-2).
Алгебраическое сложение
Алгебраическое сложение кодов векторов состоит из трех сложений пар компонент X, Y, Z этих векторов. Эти сложения могут выполнятся параллельно.
Умножение
Специальное умножение кодов векторов состоит, как обычно для позиционных кодов, из циклов "сдиг, как умножение множимого на разряд множителя" - "сложение с частичной суммой". Покомпонентное умножение также состоит из таких циклов, но в каждом цикле значение множимого зависит от номера разряда множителя. Точнее, при покомпонентном умножении
вектор
с кодом
.
рассматривается как множитель, а множимое М определяется в зависимости от номера разряда
по следующему правилу:
.
Примечания
- ↑ 1 2 3 Хмельник С. И. Алгебра многомерных векторов и кодирование пространственных фигур // Автоматика и вычислительная техника, АН ЛССР. — 1971. — Т. 1.
- ↑ 1 2 3 Курош А.Г. Курс высшей алгебры — "Наука". — Mосква, 1965.
- ↑ Хмельник С. И. Кодирование комплексных чисел и векторов — Mathematics in Computers. — Израиль, 2004. — ISBN 978-0-557-74692-7.
- ↑ Knuth D. E. (1960). «An Imaginary Number System». Communication of the ACM 3 (4): 245—247. DOI:10.1145/367177.367233.
Категории:- Вычислительная техника
- Алгебра
Wikimedia Foundation. 2010.