Метрика Хаусдорфа


Метрика Хаусдорфа

Метрика Хаусдорфа есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых компактных подмножеств метрического пространства. Таким образом, метрика Хаусдорфа превращает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства в метрическое пространство.

По-видимому, первое упоминание этой метрики содержится в книге Хаусдорфа «Теория множеств», первое издание 1914 года. Двумя годами позже, та же метрика описывается в книге Бляшке «Круг и шар», возможно независимо, так как не содержит ссылки на книгу Хаусдорфа.

Содержание

Определение

Пусть X и Y суть два непустых компактных подмножества метрического пространства M. Тогда расстояние по Хаусдорфу, d_H(X,\;Y), между X и Y есть минимальное число r такое, что замкнутая r-окрестность X содержит Y и также замкнутая r-окрестность Y содержит X.

Другими словами, если |xy| обозначает расстояние между точками x и y в M то

d_H(X,\;Y)=\max\left\{\sup_{x\in X}\inf_{y\in Y}|xy|,\;\sup_{y\in Y}\inf_{x\in X}|xy|\right\}.

Свойства

Пусть F(M) обозначает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства M с метрикой Хаусдорфа:

  • Топология пространства F(M) полностью определяется топологией M.
  • (Теорема Бляшке) F(M) компактно тогда и только тогда, когда компактно M.
  • F(M) полно тогда и только тогда, когда M полное.

Вариации и обобщения

  • Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех замкнутых подмножеств метрического пространства, в этом случае расстояние между некоторыми подмножествами может равняться бесконечности.
  • Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех подмножеств метрического пространства. В этом случае она является только псевдометрикой и не является метрикой, так как «расстояние» между различными подмножествами может равняться нулю.
  • В евклидовой геометрии, часто применяется метрика Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Пусть X и Y два компактных подмножества евклидова пространства, тогда D_H(X,\;Y) определяется как минимум d_H(I(X),\;Y) по всем движениям евклидова пространства I. Строго говоря, эта метрика на пространстве классов конгруэнтности компактных подмножеств евклидова пространства.
  • Метрика Громова — Хаусдорфа аналогична метрике Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Она превращает множество (изометрических классов) компактных метрических пространств в метрическое пространство.

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Метрика Хаусдорфа" в других словарях:

  • Метрика Хаусдорффа — В геометрии, метрика Хаусдорфа есть естественная метрика определённая на множестве всех компактных подмножеств метрического пространства. Таким образом, метрика Хаусдорфа превращает множество всех компактных подмножеств метрического пространства… …   Википедия

  • Метрика Громова — Хаусдорфа  способ определить расстояние между двумя компактными метрическими пространствами. Более точно, это метрика на множестве изометрических классов компактных метрических пространств. Эта метрика была введена Громовым в 1981.[1]… …   Википедия

  • ХАУСДОРФОВА МЕТРИКА — отклонение, метрика в пространстве Подмножеств компакта К, определяемая следующим образом. Пусть Х, и Dx,y множество чисел и где метрика в К. Тогда метрикой Хаусдорфа dist (X, Y)наз. верхняя грань чисел из Dx,y. Введена Ф. Хаусдорфом в 1914 (см.… …   Математическая энциклопедия

  • Хаусдорф, Феликс — Феликс Хаусдорф Felix Hausdorff …   Википедия

  • Хаусдорф — Хаусдорф, Феликс Феликс Хаусдорф Феликс Хаусдорф (нем. Felix Hausdorff; 8 ноября 1868, Бреслау 26 января 1942, Бонн) немецкий математик, с …   Википедия

  • ВЫПУКЛОЕ МНОЖЕСТВО — в евклидовом или другом векторном пространстве множество, к рое вместе с любыми двумя точками содержит все точки соединяющего их отрезка. Пересечение любой совокупности В. м. есть В. м. Наименьшая размерность плоскости, содержащей данное В. м.,… …   Математическая энциклопедия

  • Феликс Хаусдорф — (нем. Felix Hausdorff; 8 ноября 1868, Бреслау 26 января 1942, Бонн) немецкий математик, считается одним из основоположников современной топологии. Ввел и впервые исследовал важные в топологии понятия хаусдорфова пространства (1914),… …   Википедия

  • Хаусдорф Феликс — Феликс Хаусдорф Феликс Хаусдорф (нем. Felix Hausdorff; 8 ноября 1868, Бреслау 26 января 1942, Бонн) немецкий математик, считается одним из основоположников современной топологии. Ввел и впервые исследовал важные в топологии понятия хаусдорфова… …   Википедия

  • Хаусдорф Ф. — Феликс Хаусдорф Феликс Хаусдорф (нем. Felix Hausdorff; 8 ноября 1868, Бреслау 26 января 1942, Бонн) немецкий математик, считается одним из основоположников современной топологии. Ввел и впервые исследовал важные в топологии понятия хаусдорфова… …   Википедия

  • Бляшке, Вильгельм — Вильгельм Иоганн Эуген Бляшке Дата рождения: 13 сентября 1885 …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.