Закон Архимеда

Зако́н Архиме́да — один из главных законов гидростатики и статики газов.

Формулировка и пояснения

Закон Архимеда формулируется следующим образом^[1]: на тело, погружённое в жидкость (или газ), действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной этим телом жидкости (или газа). Сила называется силой Архимеда:

${F}_A = \rho {g} V,$

где $\rho$ — плотность жидкости (газа), ${g}$ — ускорение свободного падения, а $V$ — объём погружённого тела (или часть объёма тела, находящаяся ниже поверхности). Если тело плавает на поверхности или равномерно движется вверх или вниз, то выталкивающая сила (называемая также архимедовой силой) равна по модулю (и противоположна по направлению) силе тяжести, действовавшей на вытесненный телом объём жидкости (газа), и приложена к центру тяжести этого объёма.

Тело плавает, если сила Архимеда уравновешивает силу тяжести тела.

Следует заметить, что тело должно быть полностью окружено жидкостью (либо пересекаться с поверхностью жидкости). Так, например, закон Архимеда нельзя применить к кубику, который лежит на дне резервуара, герметично касаясь дна.

Что касается тела, которое находится в газе, например в воздухе, то для нахождения подъёмной силы нужно заменить плотность жидкости на плотность газа. Например, шарик с гелием летит вверх из-за того, что плотность гелия меньше, чем плотность воздуха.

Закон Архимеда можно объяснить при помощи разности гидростатических давлений на примере прямоугольного тела.

$P_B-P_A = \rho g h$

$F_B-F_A = \rho g h S = \rho g V,$

где P_A, P_B — давления в точках A и B, ρ — плотность жидкости, h — разница уровней между точками A и B, S — площадь горизонтального поперечного сечения тела, V — объём погружённой части тела.

В теоретической физике также применяют закон Архимеда в интегральной форме:

${F}_A = \iint\limits_S{p {dS}}$,

где $S$ — площадь поверхности, $p$ — давление в произвольной точке, интегрирование производится по всей поверхности тела.

В отсутствие гравитационного поля, то есть в состоянии невесомости, закон Архимеда не работает. Космонавты с этим явлением знакомы достаточно хорошо. В частности, в невесомости отсутствует явление (естественной) конвекции, поэтому, например, воздушное охлаждение и вентиляция жилых отсеков космических аппаратов производятся принудительно, вентиляторами.

Обобщения

Некий аналог закона Архимеда справедлив также в любом поле сил, которое по-разному действуют на тело и на жидкость (газ), либо в неоднородном поле. Например, это относится к полю сил инерции (например, центробежной силы) — на этом основано центрифугирование. Пример для поля немеханической природы: проводящее тело вытесняется из области магнитного поля большей интенсивности в область с меньшей.

Вывод закона Архимеда для тела произвольной формы

Гидростатическое давление жидкости на глубине $h$ есть $p = \rho g h$. При этом считаем давление жидкости и напряжённость гравитационного поля постоянными величинами, а $h$ — параметром. Возьмём тело произвольной формы, имеющее ненулевой объём. Введём правую ортонормированную систему координат $Oxyz$, причём выберем направление оси z совпадающим с направлением вектора $\vec{g}$. Ноль по оси z установим на поверхности жидкости. Выделим на поверхности тела элементарную площадку $dS$. На неё будет действовать сила давления жидкости направленная внутрь тела, $d\vec{F}_A = -pd\vec{S}$. Чтобы получить силу, которая будет действовать на тело, возьмём интеграл по поверхности:

$\vec{F}_A=-\int\limits_S{p\,d\vec{S}}=-\int\limits_S{\rho g h \,d\vec{S}}=-\rho g\int\limits_S{h \,d\vec{S}}=^*-\rho g\int\limits_V{grad(h)\,dV}=^{**}-\rho g\int\limits_V{\vec{e}_zdV}=-\rho g \vec{e}_z \int\limits_V{dV} = (\rho g V) (-\vec{e}_{z})$

При переходе от интеграла по поверхности к интегралу по объёму пользуемся обобщённой теоремой Остроградского-Гаусса.

${}^* h(x,y,z) = z; \quad ^{**} grad(h)=\nabla h=\vec{e}_{z}$

Получаем, что модуль силы Архимеда равен $\rho g V$, а направлена она в сторону, противоположную направлению вектора напряжённости гравитационного поля.

Условие плавания тел

Поведение тела, находящегося в жидкости или газе, зависит от соотношения между модулями силы тяжести $\mathbf{F_T}$ и силы Архимеда $\mathbf{F}_A$, которые действуют на это тело. Возможны следующие три случая:

• $\mathbf{F_T}>\mathbf{F}_A$ — тело тонет;
• $\mathbf{F_T}=\mathbf{F}_A$ — тело плавает в жидкости или газе;
• $\mathbf{F_T}<\mathbf{F}_A$ — тело всплывает до тех пор, пока не начнет плавать.

Другая формулировка (где $\mathbf{p_t}$ — плотность тела, $\mathbf{p_s}$ — плотность среды, в которую оно погружено):

• $\mathbf{p_t}>\mathbf{p}_s$ — тело тонет;
• $\mathbf{p_t}=\mathbf{p}_s$ — тело плавает в жидкости или газе;
• $\mathbf{p_t}<\mathbf{p}_s$ — тело всплывает до тех пор, пока не начнет плавать.

См. также

• Гидростатика
• Плавучесть
• Парадокс Архимеда

Примечания

1. ↑ Всё написанное ниже, если не оговорено иное, относится к однородному полю силы тяжести (например, вблизи поверхности планеты).

Ссылки

• Архимедов закон // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Закон Архимеда в энциклопедии «Кругосвет»