Автономная система дифференциальных уравнений


Автономная система дифференциальных уравнений

Автономная система дифференциальных уравнений (другое название: стационарная система дифференциальных уравнений) — частный случай системы дифференциальных уравнений, когда аргумент t системы не входит явным образом в функции, задающие систему.

Автономная система в нормальном виде имеет вид:
\frac{dx_k}{dt} = f_k(x_1, ..., x_n),\,k = 1, ..., n

или в векторной записи:
\frac{d\bar{x}}{dt} = \bar{f}(\bar{x})

Содержание

Приведение к автономному виду

Любую систему дифференциальных уравнений можно свести к автономной, введя дополнительную вспомогательную функцию x_{n+1}, заменив ею аргумент t там, где он входит явно, и дополнив систему ещё одним уравнением \frac{dx_{n+1}}{dt} = 1. Такая замена, однако, имеет преимущественно теоретическое значение, так как увеличивает размерность системы с n на n+1, что усложняет структуру семейства решений.

Свойства автономной системы

Если \bar{x} = \bar{x}(t) - решение автономной системы дифференциальных уравнений (в векторном виде), то эта функция остаётся решением и при сдвиге аргумента. Автономная система моделирует автономные процессы, т.е. процесс, не подверженные внешним влияниям, и стационарные процессы, т.е. процессы, установившиеся во времени. Все эти процессы полностью определяются начальными значениями переменных состояния, т.е. x_1,\dots,x_n, и не зависят от выбора начального значения аргумента t.

См. также

  • Однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
  • Однозначная разрешимость задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений
  • Отклонение решений автономной системы

Ссылки

  • В.И.Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Автономная система дифференциальных уравнений" в других словарях:

  • Автономная система — может иметь несколько значений: Автономная система (интернет) Автономная система дифференциальных уравнений Автономная компьютерная система …   Википедия

  • АВТОНОМНАЯ СИСТЕМА — обыкновенных дифференциальных уравнений система обыкновенных дифференциальных уравнений, в к рую не входит явно независимое переменное t(время). Общий вид А. с. 1 го порядка в нормальной форме: или, в векторной записи, Неавтономная система… …   Математическая энциклопедия

  • КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ — математическая дисциплина, изучающая свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений без нахождения самих решений. Основы К. т. д. у. были заложены в конце 19 в. А. Пуанкаре (см. [1], [2]) и А. М. Ляпуновым (см. [3], [4]). А. Пуанкаре… …   Математическая энциклопедия

  • АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ — раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в к ром решения исследуются с точки зрения теории аналитич. функций. Типичная постановка задачи в А. т. д. у. такова: дан нек рый класс дифференциальных уравнений, все решения к рых суть… …   Математическая энциклопедия

  • система — 4.48 система (system): Комбинация взаимодействующих элементов, организованных для достижения одной или нескольких поставленных целей. Примечание 1 Система может рассматриваться как продукт или предоставляемые им услуги. Примечание 2 На практике… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • ЖЕСТКАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА — система обыкновенных дифференциальных уравнений, при численном решении к рой явными методами типа Рунге Кутта или Адамса, несмотря на медленное изменение искомых переменных, шаг интегрирования обязан оставаться малым. Попытки уменьшить время… …   Математическая энциклопедия

  • Обыкновенное дифференциальное уравнение — Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)  это дифференциальное уравнение вида где   неизвестная функция (возможно, вектор функция, тогда , как правило, тоже вектор функция со значениями в пространстве той же размерности; в этом… …   Википедия

  • Обыкновенные дифференциальные уравнения — (ОДУ) это дифференциальное уравнение вида , где неизвестная функция (возможно, вектор функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени , штрих означает дифференцирование по . Число… …   Википедия

  • Российская Советская Федеративная Социалистическая Республика —         РСФСР.          I. Общие сведения РСФСР образована 25 октября (7 ноября) 1917. Граничит на С. З. с Норвегией и Финляндией, на З. с Польшей, на Ю. В. с Китаем, МНР и КНДР, а также с союзными республиками, входящими в состав СССР: на З. с… …   Большая советская энциклопедия

  • НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ — колебания в физич. системах, описываемые нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений где содержит члены не ниже 2 й степени по компонентам вектора вектор функция времени малый параметр (либо и ). Возможные обобщения связаны с… …   Математическая энциклопедия