Формулы сокращённого умножения многочленов

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем Бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Формулы для квадратов

• $(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$
• $~a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
• $\left( a + b + c \right)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Формулы для кубов

• $(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$
• $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
• $\left( a + b + c \right)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c + 3ab^2 + 3ac^2 + 3b^2c + 3bc^2 + 6abc$

Формулы для четвёртой степени

• $(a\pm b)^4=a^4\pm 4a^3b+6a^2b^2\pm 4ab^3+b^4$
• $~a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$ (выводится из $a^2-b^2$)

Формулы для n-ой степени

• $~a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$
• $~a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^2-...-a^2b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})$, где $n \in N$
• $~a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})$
• $~a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^2-...+a^2b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})$, где $n \in N$

Некоторые свойства формул

• $~(a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}$, где $n \in N$
• $~(a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}$, где $n \in N$

См. также

• Многочлен
• Бином Ньютона

Источники

• М. Я. Выгодский, Справочник по элементарной математике, Москва, 1958