Нелинейное уравнение Шрёдингера


Нелинейное уравнение Шрёдингера

Нелине́йное или куби́ческое уравне́ние Шрёдингера (НУШ, англ. Nonlinear Schrödinger equation (NLS)) — нелинейное уравнение в частных производных второго порядка, играющее важную роль в теории нелинейных волн, в частности, в нелинейной оптике и физике плазмы.

Классическое полевое уравнение (в безразмерной форме) имеет вид:[1]

i\partial_t\psi=-{1\over 2}\partial^2_x\psi+\kappa|\psi|^2 \psi

Содержание

Значение в физике

Нелинейное уравнение Шрёдингера описывает огибающую волнового пакета в среде с дисперсией и кубической нелинейностью. Подобная ситуация встречается, например, при распространении электромагнитных волн в плазме: с одной стороны плазма является диспергирующей средой, с другой стороны, при достаточно высоких амплитудах волны проявляется пондеромоторная нелинейность, которая в некоторых случаях может быть аппроксимирована кубическим членом. Другим примером является распространение света в нелинейных кристаллах с дисперсией: во многих случаях квадратичная нелинейность мала или тождественно равна нуля в силу центральной симметрии кристаллической решётки, поэтому учитывается только кубический член.

Решения

Для нелинейного уравнения Шрёдингера найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В частности, решениями являются функции вида

u(x, t) = \exp\left\{irx - ist\right\}v(x - Ut)

где r, s, U — постоянные, связанные соотношениями:

r = \frac{U}{2} \qquad s = \frac{U^2}{4} - \alpha

а функция v(q) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению вида

\frac{d^2v}{dq^2} - \alpha v + \nu v^3 = 0

Периодические решения имеют форму кноидальных волн. Кроме того, имеется локализованное решения солитонного типа:

v = \frac{\sqrt{2\alpha/\nu}}{\cosh^2\left[\sqrt{\alpha}\left(x - Ut\right)\right]}

Таким образом, параметр \alpha определяет амплитуду волн, а параметр U — их скорость. Интересно, что солитонные решения для нелинейного уравнения качественно совпадает с солитонными решения для другого важного нелинейного уравнения — уравнения Кортевега — де Фриза (КдФ), однако отличается, во-первых, тем, что амплитуда и скорость солитонов в НУШ независимы, а в КдФ связаны между собой, а во-вторых, тем, что в НУШ локализованные решения — это солитоны огибающих, а в КдФ — истинные солитоны.

Солитонные решения обладают особым значением, поскольку при \nu > 0 стационарные решения нелинейного уравнения Шрёдингера неустойчивы и распадаются на множество солитонов. При заданном произвольном начальном распределении функции u(x, t) решение может быть найдено методом обратной задачи рассеяния.

Интегралы

Нелинейное уравнение Шрёдингера вполне интегрируемо и обладает неограниченным набором интегралов движения. Примерами могут служить следующие интегралы:

I_1 = \int|u|^2dx \,
I_2 = \int\frac{i}{2}\left(\overline{u}\frac{\partial u}{\partial x} - u\frac{\partial\overline{u}}{\partial x}\right)dx
I_3 = \int\left(\left|\frac{\partial u}{\partial x}\right|^2 + \kappa |u|^4\right)dx

где верхняя черта означает взятие комплексного сопряжения.

Литература

Примечания

  1. (1974) «On the complete integrability of a nonlinear Schrödinger equation». Journal of Theoretical and Mathematical Physics 19 (3): 551–559. DOI:10.1007/BF01035568. Bibcode1974TMP....19..551Z.. Originally in: (June, 1974) «{{{title}}}». Teoreticheskaya i Matematicheskaya Fizika 19 (3): 332–343.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Нелинейное уравнение Шрёдингера" в других словарях:

  • НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ — уравнение вида где есть мультииндекс с целыми неотрицательными где. Аналогично определяется Н. у …   Математическая энциклопедия

  • Уравнение Хартри — Уравнением Хартри, названным в честь Дугласа Хартри, является уравнение в , гдe и . Уравнение можно рассматривать как нелокальное кубическое уравнение Шрёдингера. Нелинейное уравнение Шрёдингера в некотором смысле является граничным случаем… …   Википедия

  • Уравнение Клейна — Гордона — Уравнение Клейна  Гордона (Уравнение Клейна  Гордона  Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где …   Википедия

  • Уравнение Клейна-Гордона — Уравнение Клейна  Гордона (Уравнение Клейна  Гордона  Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где   оператор Д’Аламбера. является релятивистской версией …   Википедия

  • Уравнение Клейна-Гордона-Фока — Уравнение Клейна  Гордона (Уравнение Клейна  Гордона  Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где   оператор Д’Аламбера. является релятивистской версией …   Википедия

  • Уравнение Клейна — Гордона — Фока — Уравнение Клейна  Гордона (Уравнение Клейна  Гордона  Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где   оператор Д’Аламбера. является релятивистской версией …   Википедия

  • Уравнение Клейна — Уравнение Клейна  Гордона (Уравнение Клейна  Гордона  Фока, уравнение Клейна Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где   оператор Д’Аламбера. явля …   Википедия

  • ШРЁДИНГЕРА УРАВНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЕ — нелинейное дифференциальное ур ние в частных производных где комплекснозначная ф ция (заряж. скалярное поле). Вещественный параметр входящий в ур ние, играет роль константы связи. Своё название Ш. у. н. получило из за формального сходства с… …   Физическая энциклопедия

  • ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ — в механике, линейное однородное дифф. ур ние в частных производных, описывающее распространение волн в среде; имеет вид: где t время, х, у, z пространственные декартовы координаты, W= W(х, у, z, t) ф ция, характеризующая возмущение среды в точке… …   Физическая энциклопедия

  • МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ — уравнения, описывающие математические модели физических явлений. М. ф. у. часть предмета математической физики. Многие явления физики и механики (гидро и газодинамики, упругости, электродинамики, оптики, теории переноса, физики плазмы, квантовой… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.