Инварианты Карминати

В общей теории относительности, инварианты Карминати — Макленахана (Carminati-McLenaghan invariants, CM scalars) составляют один из наборов скалярных инвариантов кривизны. Они включают в себя 16 скаляров, получаемых из тензора Римана. Так как такой набор не может быть полным, часто к ним добавляется ещё два дополнительных инварианта.

Определение

Инварианты Карминати — Макленахана состоят из 6 действительных скаляров и 5 комплексных (всего 16 действительных чисел). Они определяются через тензор Вейля $C_{abcd}$, его левый (или правый) дуальный тензор ${{}^\star C}_{acdb}$, тензор Риччи $R_{ab}$ и его бесследовую часть $S_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{4} \, R \, g_{ab}.$

Действительные скаляры:

1. $R = {R^m}_m$ (скалярная кривизна, след тензора Риччи),
2. $R_1 = \frac{1}{4} \, {S^a}_b \, {S^b}_a$,
3. $R_2 = -\frac{1}{8} \, {S^a}_b \, {S^b}_c \, {S^c}_a$,
4. $R_3 = \frac{1}{16} \, {S^a}_b \, {S^b}_c \, {S^c}_d \, {S^d}_a$,
5. $M_3 = \frac{1}{16} \, S^{bc} \, S_{ef} \left( C_{abcd} \, C^{aefd} + {{}^\star C}_{abcd} \, {{}^\star C}^{aefd} \right)$,
6. $M_4 = -\frac{1}{32} \, S^{ag} \, S^{ef} \, {S^c}_d \, \left( {C_{ac}}^{db} \, C_{befg} + {{{}^\star C}_{ac}}^{db} \, {{}^\star C}_{befg} \right)$.

Комплексные скаляры:

1. $W_1 = \frac{1}{8} \, \left( C_{abcd} + i \, {{}^\star C}_{abcd} \right) \, C^{abcd}$,
2. $W_2 = -\frac{1}{16} \, \left( {C_{ab}}^{cd} + i \, {{{}^\star C}_{ab}}^{cd} \right) \, {C_{cd}}^{ef} \, {C_{ef}}^{ab}$,
3. $M_1 = \frac{1}{8} \, S^{ab} \, S^{cd} \, \left( C_{acdb} + i \, {{}^\star C}_{acdb} \right)$,
4. $M_2 = \frac{1}{16} \, S^{bc} \, S_{ef} \, \left( C_{abcd} \, C^{aefd} - {{}^\star C}_{acdb} \, {{}^\star C}^{aefd} \right) + \frac{1}{8} \, i \, S^{bc} \, S_{ef} \, {{}^\star C}_{abcd} \, C^{aefd}$,
5. $M_5 = \frac{1}{32} \, S^{cd} \, S^{ef} \, \left( C^{aghb} + i \, {{}^\star C}^{aghb} \right) \, \left( C_{acdb} \, C_{gefh} + {{}^\star C}_{acdb} \, {{}^\star C}_{gefh} \right)$.

Эти инварианты имеют следующие степени относительно компонент кривизны:

1. $R$ линеен по ним,
2. $R_1, \, W_1$ квадратичны,
3. $R_2, \, W_2, \, M_1$ кубичны,
4. $R_3, \, M_2, \, M_3$ имеют четвёртую степень, а
5. $M_4, \, M_5$ — пятую.

Они могут быть выражены также непосредственно через спинор Риччи и спинор Вейля в формализме Ньюмана — Пенроуза (см. ссылку ниже).

Полный набор инвариантов

Для случая сферически-симметричного пространства-времени или пространства-времени с одномерной трансляционной инвариантностью (planar symmetric spacetimes) известно, что инварианты

$R, \, R_1, \, R_2, \, R_3, \, \Re (W_1), \, \Re (M_1), \, \Re (M_2)$

$\frac{1}{32} \, S^{cd} \, S^{ef} \, C^{aghb} \, C_{acdb} \, C_{gefh}$

составляют полное множество инвариантов тензора Римана. В случае вакуумных, электровакуумных решений или решений с идеальной жидкостью полное множество образуют инварианты Карминати — Макленахана. А более общих случаях требуется большее число инвариантов; определение их точного числа (и возможных связей между ними) представляет собой нерешённую проблему.

См. также

• Инвариант кривизны

Литература

• Carminati, J. and McLenaghan, R. G. (1991). «Algebraic invariants of the Riemann tensor in a four-dimensional Lorentzian space». J. Math. Phys. 32: 3135–3140. DOI:10.1063/1.529470.

Ссылки

• Сайт GRTensor II содержит мануал к одноименному пакету с определениями и разбором применений инвариантов Карминати — Макленахана.

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.