Исчезновение клетки

Исчезновение клетки (появление клетки) — известный класс задач (оптических иллюзий) на перестановку фигур, обладающих признаками софизмов: изначально в их условие введена замаскированная ошибка. Некоторые из этих задач тесно связаны со свойствами последовательности чисел Фибоначчи.

Задача о треугольнике

1 Перестановка частей

2 Разрезанный треугольник

Дан прямоугольный треугольник 13×5 клеток, составленный из 4 частей. После перестановки частей при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка (рисунок 1).

Решение

3 «Гипотенуза» на самом деле является ломаной линией

Площади закрашенных фигур, разумеется, равны между собой (32 клетки), однако, то, что визуально наблюдается как треугольники 13×5, на самом деле таковым не является, и имеет разные площади (S_13×5 = 32,5 клетки). То есть ошибка, замаскированная в условии задачи, состоит в том, что начальная фигура поименована треугольником (на самом деле это — вогнутый 4-угольник). Это отчётливо заметно на рисунках 1 и 2 — «гипотенузы» верхней и нижней фигур проходят через разные точки: (8,3) вверху и (5,2) — внизу. Секрет в свойствах синего и красного треугольников. Это легко проверить вычислениями.

Отношения длин соответствующих сторон синего и красного треугольников не равны друг другу (2/3 и 5/8), поэтому эти треугольники не являются подобными, а значит, имеют разные углы при соответствующих вершинах. Назовём первую фигуру, являющуюся вогнутым четырёхугольником, и вторую фигуру, являющуюся вогнутым восьмиугольником, псевдотреугольниками. Если нижние стороны этих псевдотреугольников параллельны, то гипотенузы в обоих псевдотреугольниках 13×5 на самом деле являются ломаными линиями (на верхнем рисунке создаётся излом внутрь, а на нижнем — наружу). Если наложить верхнюю и нижнюю фигуры 13×5 друг на друга, то между их «гипотенузами» образуется параллелограмм, в котором и содержится «лишняя» площадь. На рисунке 3 этот параллелограмм приведён в верных пропорциях.

Острый угол в этом параллелограмме равен arcctg 46^[1] ≈ 0°1′18,2″. На такой угол минутная стрелка на исправных часах сдвигается за 12,45 с. Именно на такую величину тупой угол в рассматриваемом параллелограмме отличается от развёрнутого. Визуально столь ничтожное отличие незаметно.

По словам Мартина Гарднера, эту задачу изобрёл иллюзионист-любитель из Нью-Йорка Пол Карри в 1953. Однако принцип, заложенный в неё, был известен ещё в 1860-е годы. Можно заметить, что длины сторон фигур из данной задачи (2, 3, 5, 8, 13) являются последовательными числами Фибоначчи.

Исчезающий квадрат

Маленький квадрат «исчезает» и «появляется» при повороте частей

В другой похожей головоломке, большой квадрат составлен из четырёх одинаковых четырёхугольников^[2] и маленького квадрата. Если четырёхугольники развернуть, то они заполнят площадь, занимаемую маленьким квадратом, хотя площадь большого квадрата визуально не изменится. При следующем развороте маленький квадрат появится снова.

Решение

Этот парадокс объясняется тем, что сторона (и площадь) нового большого квадрата немного отличается от стороны́ (и площади) того, который был в начале. Если в качестве первой фигуры принять тот квадрат, в середине которого нет маленького ромба, дальнейший анализ заметно упростится.

Сторона начального квадрата пусть будет $\alpha$, и сто́роны составляющих его четырёхугольников делят эту сто́рону ($\alpha$) в отношении $\kappa\ \,(1/2<\kappa<1)$. Сведущий в геометрии легко сможет доказать, что построенные таким образом четырёхугольники равны друг другу, имеют прямые углы в противолежащих вершинах (в центре и по углам квадрата) и равные стороны, смежные в центре квадрата (то есть не являются ромбоидами + для них существуют описанные окружности (суммы противолежащих углов равны^[3])). Становится также понятно, что ромб в центре второй фигуры является квадратом.

Сторона маленького квадрата на второй фигуре будет равна $\alpha(2\kappa-1)$. Угол между парой противоположных сторон любого из составляющих четырёхугольников (причём, не важно, какой парой) пусть будет обозначен $\theta$. Его точное значение можно рассчитать^[4] методом координат, или методами классической геометрии.

Если каждый из четырёхугольников, составляющих первый квадрат, повернуть на угол $\pi$ вокруг центра описанной около него окружности, то получится вторая фигура, с незакрашенной квадратной областью в центре. При следующем повороте опять составится первый квадрат. Площадь второго квадрата оказывается в $(4\kappa(\kappa-1)+2)$ раза больше площади первого (или, что то же, в $\sec^2\theta$ раз). При $\kappa\approx1/2$ это отличие практически незаметно. Например, на поясняющих рисунках использован угол $\theta = 10^{\circ}$ (соответственно, $\kappa=(\mathrm{tg}\,\theta+1)/2 \approx 0,588\,2$). При этом разность между площадями больши́х квадратов составляет $\approx3{,}11\,\%$. Уже такое отличие сложно заметить, хотя значение $\kappa$ (и, соответственно, значение угла $\theta$) здесь используется отнюдь не маленькое.

Таким образом, можно заключить, что ошибка, замаскированная в условии, состоит в том, что центры вращения составляющих четырёхугольников находятся не там, где это представляется при визуальном контроле картинки (не в точках пересечения их диагоналей). Они находятся в вершинах квадрата, повёрнутого на угол $-\theta$ относительно первого квадрата, хотя его стороны параллельны сторонам второго.

Примечания

1. ↑ Меньший угол в прямоугольном треугольнике с соотношением катетов 1/46.
2. ↑ Из рисунка видно, что соответствующие стороны у них равны. Из этого следует, что средняя фигура, как минимум, ромб.
3. ↑ равны $\pi$, хотя для выпуклого четырёхугольника это несущественное замечание
4. ↑ $\theta=\mathrm{arcsec}\left(\sqrt{4(\kappa-1)\kappa+2}\right)$, причём под корнем здесь — отношение площадей больши́х квадратов (второго к первому).