Матрицы Дирака

Ма́трицы Ди́рака (также известные как га́мма-ма́трицы) — набор матриц, удовлетворяющих особым антикоммутационным соотношениям. Часто используются в релятивистской квантовой механике.

Определение

Матрицами Дирака называется любой набор матриц, удовлетворяющих уравнению

$\displaystyle\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 \eta^{\mu \nu} I,$

где $\eta^{\mu \nu}$ — метрика Минковского сигнатуры $\left(+---\right),$ I — единичная матрица, фигурные скобки обозначают антикоммутатор.

Один из возможных способов выбрать матрицы Дирака в четырёхмерном пространстве такой:

$\gamma_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \quad \gamma_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \gamma_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \gamma_3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(Дираковское представление; используются также представления Вейля и Майораны).

Пятая гамма-матрица, $\gamma^5$

Полезно определить произведение четырёх гамма-матриц следующим образом:

$\gamma^5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ (в представлении Дирака).

$\gamma^5$ можно записать в альтернативном виде:

$\gamma^5 = \frac{i}{4!} \varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta} \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} \gamma^{\alpha} \gamma^{\beta},$

где $\varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta}$ — тензор Леви-Чивиты.

Эта матрица полезна при обсуждении хиральности в квантовой механике. Так, дираковское спинорное поле можно спроецировать на его левую или правую компоненту:

$\psi_L= \frac{1-\gamma^5}{2}\psi, \qquad\psi_R= \frac{1+\gamma^5}{2}\psi$.

Некоторые свойства $\gamma^5$:

• Эрмитовость:

$(\gamma^5)^\dagger = \gamma^5. \,$

• Собственные значения равны ±1, поскольку

$(\gamma^5)^2 = I. \,$

• Антикоммутирует с четырьмя другими гамма-матрицами:

$\left\{ \gamma^5,\gamma^\mu \right\} =\gamma^5 \gamma^\mu + \gamma^\mu \gamma^5 = 0. \,$

Блочная структура

Матрицы Дирака могут быть компактно записаны как блочные матрицы с использованием матриц Паули σ₁, σ₂, σ₃, дополненных единичной матрицей I. В представлении Дирака:

$\gamma_0 = \begin{bmatrix} I & 0\\ 0 & -I \end{bmatrix}, \quad \gamma_1 = \begin{bmatrix} 0 & \sigma_1\\ -\sigma_1 & 0\end{bmatrix}, \quad \gamma_2 = \begin{bmatrix} 0 & \sigma_2\\ -\sigma_2 & 0\end{bmatrix}, \quad \gamma_3 = \begin{bmatrix} 0 & \sigma_3\\ -\sigma_3 & 0\end{bmatrix}.$

В представлении Вейля $\gamma^k$ остаются теми же, но $\gamma^0$ отличается, поэтому $\gamma^5$ тоже изменена:

$\gamma^0 = \begin{bmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{bmatrix},\quad \gamma^k = \begin{bmatrix} 0 & \sigma^k \\ -\sigma^k & 0 \end{bmatrix},\quad \gamma^5 = \begin{bmatrix} -I & 0 \\ 0 & I \end{bmatrix}.$

Представление Вейля имеет то преимущество, что в нём хиральные проекции принимают простую форму:

$\psi_L=\frac12(1-\gamma^5)\psi=\begin{bmatrix} I & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix}\psi,\quad \psi_R=\frac12(1+\gamma^5)\psi=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\0 & I \end{bmatrix}\psi.$

Существует также представление Майораны, в котором все гамма-матрицы мнимые, а спиноры вещественные:

$\gamma^0 = \begin{bmatrix} 0 & \sigma^2 \\ \sigma^2 & 0 \end{bmatrix}, \quad \gamma^1 = \begin{bmatrix} i\sigma^3 & 0 \\ 0 & i\sigma^3 \end{bmatrix}$

$\gamma^2 = \begin{bmatrix} 0 & -\sigma^2 \\ \sigma^2 & 0 \end{bmatrix}, \quad \gamma^3 = \begin{bmatrix} -i\sigma^1 & 0 \\ 0 & -i\sigma^1 \end{bmatrix}, \quad \gamma^5 = \begin{bmatrix} \sigma^2 & 0 \\ 0 & -\sigma^2 \end{bmatrix}.$

В современной науке основным является определяющее свойство гамма-матриц, а не их числовое представление.

Тождества

Num	Identity
1	$\displaystyle\gamma^\mu\gamma_\mu=4 I$
2	$\displaystyle\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma_\mu=-2\gamma^\nu$
3	$\displaystyle\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma_\mu=4\eta^{\nu\rho} I$
4	$\displaystyle\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma_\mu=-2\gamma^\sigma\gamma^\rho\gamma^\nu$
5	$\displaystyle\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\lambda = \eta^{\mu\nu}\gamma^\lambda + \eta^{\nu\lambda}\gamma^\mu - \eta^{\mu\lambda}\gamma^\nu - i\epsilon^{\sigma\mu\nu\lambda}\gamma_\sigma\gamma^5$

Num	Identity
0	$\operatorname{tr} (\gamma^\mu) = 0$
1	Любое произведение нечётного числа $\gamma_\mu$ имеет нулевой след.
2	$\operatorname{tr} (\gamma^\mu\gamma^\nu) = 4\eta^{\mu\nu}$
3	$\operatorname{tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma)=4(\eta^{\mu\nu}\eta^{\rho\sigma}-\eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}+\eta^{\mu\sigma}\eta^{\nu\rho})$
4	$\operatorname{tr}(\gamma^5)=\operatorname{tr} (\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^5) = 0$
5	$\operatorname{tr} (\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma^5) = 4i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$

Определение гамма-матриц обобщается на пространства других размерностей, где их количество может отличаться.

См. также

• Уравнение Дирака
• Кватернионы

Литература

• Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск: РХД, 2009. — 632 с.
• Пескин М., Шредер Д. Введение в квантовую теорию поля. — Ижевск: РХД, 2002. — 784 с.
• W. Pauli (1936). «Contributions mathématiques à la théorie des matrices de Dirac». Ann. Inst. Henri Poincaré 6: 109.

Для улучшения этой статьи по физике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.