Принцип детального равновесия

Принцип детального равновесия — общее положение статистики, справедливое для многих случайных (марковских) процессов. Его суть заключается в равенстве вероятностей прямого $(n\rarr m)$ и обратного $(m\rarr n)$ переходов между дискретными состояниями системы $m$ и $n$.

Марковская цепь, для которой выполняется принцип детального равновесия, называется обратимой.

Принцип детального равновесия, в частности, справедлив в приложении к статистической физике и квантовой механике, поскольку он является следствием основных принципов квантовой механики, например, симметрии квантовых уравнений движения относительно обращения времени.

В общем случае, принцип детального равновесия можно сформулировать как равенство вероятностей перехода, отнесённых к конечному состоянию:

$\frac{w_{mn}}{P_m}=\frac{w_{nm}}{P_n}$,

где

• $P_m=\rho_{mm}$ и $P_n=\rho_{nn}$ — вероятности того, что система находится в состояниях $m$ и $n$, соответствующие диагональным элементам матрицы плотности $\rho$;
• $w_{mn}=\mathrm{prob}(n\rarr m)$ — вероятность прямого перехода системы из состояния $n$ в состояние $m$;
• $w_{nm}=\mathrm{prob}(m\rarr n)$ — вероятность обратного перехода системы из состояния $m$ в состояние $n$.

В отличие от обычного стационарного состояния, для которого достаточно выполнения условия:

$\frac{dP_n}{dt}=\sum_{m\neq n} \left(w_{nm}\cdot P_m-w_{mn}\cdot P_n\right)=0$,

детальное равновесие требует равенства нулю каждого из членов суммы, то есть:

$w_{nm}\cdot P_m=w_{mn}\cdot P_n$,

Частные формулировки

Для замкнутых изолированных систем принцип детального равновесия сводится к равенству:

$w_{mn}=w_{nm}.$

Если же система не изолирована и взаимодействует с другой большой системой (термостатом), то согласно принципу детального равновесия:

$\frac{w_{mn}}{w_{nm}}=\exp{\frac{E_n-E_m}{kT}}.$

Для газа, подчиняющегося статистике Больцмана, принцип детального равновесия принимает вид:

$ff_1=f^\prime f_1^\prime.$

Для квантовых газов:

$ff_1(1\pm f^\prime)(1\pm f_1^\prime)=f^\prime f_1^\prime(1\pm f)(1\pm f_1),$

где знак «+» соответствует бозонам, а знак «−» — фермионам.

См. также

• Основное кинетическое уравнение

Литература

• Детального равновесия принцип — статья из Физической энциклопедии
• Ken Sekimoto Stochastic Energetics. — Springer-Verlag, 2010.