Диофантово уравнение


Диофантово уравнение

Диофа́нтово уравнение — это уравнение вида

P(x_1, \dots, x_m) = 0,

где Pцелочисленная функция (например, полином с целыми коэффициентами), а переменные x_i принимают целые значения. Названы в честь древнегреческого математика Диофанта.

Содержание

Примеры

  • x^n + y^n = z^n:
  • \sum\limits_{k=1}^{n-1} a_k^n = a_n^nгипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числа n > 2 это уравнение неразрешимо в натуральных числах a_1, a_2, \dots, a_n, то есть, никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы n-1 n-х степеней других натуральных чисел. Гипотеза является обобщением великой теоремы Ферма, но была опровергнута для n = 4 и n = 5.
  • x^2 - n y^2 = 1, где параметр n не является точным квадратом — уравнение Пелля.
  • x^z - y^t = 1, где z, t>1, — уравнение Каталана.
  • \sum_{i=0}^n a_i x^i y^{n-i} = c при n\ge 3 и c\ne 0 — уравнение Туэ.

Алгебраические диофантовы уравнения

При рассмотрении вопроса разрешимости алгебраических диофантовых уравнений можно воспользоваться тем, что любую систему таких уравнений можно преобразовать в одно диофантово уравнение степени не выше 4 в целых неотрицательных числах, разрешимое в том и только том случае, когда разрешима исходная система (при этом множество переменных и множество решений этого нового уравнения может оказаться совершенно другим).

Также, при рассмотрении вопроса разрешимости переменные часто разделяют на параметры (значения которых предполагаются фиксированными) и неизвестные. Таким образом, каждое диофантово уравнение определяет множество наборов параметров, при которых оно разрешимо относительно неизвестных, называемое диофантовым множеством. Рассматриваемое диофантово уравнение называется диофантовым представлением этого множества. Важный результат, полученный Юрием Матиясевичем, состоит в том, что каждое перечислимое множество имеет диофантово представление.

Линейные диофантовы уравнения

Общий вид линейного диофантова уравнения:

a_1 x_1 + a_2 x_2 + \ldots + a_k x_k=d.

В частности, линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными имеет вид:

ax+by=c.\qquad(1)

Если (a,b) \nmid c (то есть c не делится нацело на наибольший общий делитель (a,\;b)), то уравнение (1) не разрешимо в целых числах. В самом деле, если (a,\;b) \ne 1, то число, стоящее слева в (1), делится на (a,\;b), а стоящее справа — нет. Справедливо и обратное: если в уравнении ax+by=c выполняется (a,b) \mid c, то оно разрешимо в целых числах.

Пусть (x_0,\;y_0) — частное решение уравнения ax+by=c. Тогда все его решения находятся по формулам:

\begin{cases} x=x_0-\frac{b}{(a,\;b)}n \\ y=y_0+\frac{a}{(a,\;b)}n\end{cases}\quad n \in\mathbb Z.

Частное решение (x_0,\;y_0) можно построить следующим образом. Если (a, b)\ne 1 и c делится на (a,b), то после деления всех коэффициентов на (a,b) уравнение приобретает вид a_1x+b_1y = c_1, где (a_1,b_1)=1. Для последнего уравнения частное решение получается из соотношения Безу для a1, b1:

u a_1 + v b_1 = 1,

исходя из которого, можно положить (x_0,\;y_0) = (c_1\cdot u,\;c_1\cdot v).

Известна явная формула для серии решений линейного уравнения[1]:

\begin{cases}x_t=c a^{\phi(b)-1}+b t,\\ y_t=c\frac{1-a^{\phi(b)}}{b}-a t,\end{cases}

где \phi(\cdot) — функция Эйлера, а t — произвольный целый параметр.

Неразрешимость в общем виде

Десятая проблема Гильберта, сформулированная в 1900 году, состоит в нахождении алгоритма решения произвольных алгебраических диофантовых уравнений. В 1970 году Юрий Матиясевич доказал алгоритмическую неразрешимость этой проблемы.[2]

См. также

Примечания

  1. Воробьёв Н. Н. Признаки делимости. — М.: Наука, 1988. — С. 60. — 96 с. — (Популярные лекции по математике).
  2. Ю. В. Матиясевич Десятая проблема Гильберта. — М.: Наука, 1993.

Ссылки



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Диофантово уравнение" в других словарях:

  • ДИОФАНТОВО МНОЖЕСТВО — множество состоящее из упорядоченных наборов из пцелых (целых неотрицательных, целых положительных) чисел, для к рого можно указать диофантово уравнение зависящее от ппараметров а 1, ..., а п, допустимыми значениями к рых являются целые… …   Математическая энциклопедия

  • Уравнение (неравенство) с параметрами — [[Участник:Уравнение (неравенство) с параметрами  математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров. Решить уравнение с параметром означает: Найти все системы значений …   Википедия

  • Уравнение Пелля — В математике, уравнение Пелля  диофантово уравнение вида где   натуральное число, не являющееся квадратом. Содержание 1 Простейшие свойства …   Википедия

  • ПЕЛЛЯ УРАВНЕНИЕ — диофантово уравнение вида (1) а также более общее уравнение (2) где натуральное, иррациональное число, с целое, неизвестные хи у целые числа. Если Ps/Qs, s=0,1,2,..., подходящие дроби разложения в цепную дробь с периодом k, то положительные… …   Математическая энциклопедия

  • Десятая проблема Гильберта — Десятая проблема Гильберта  одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Она состоит в нахождении универсального метода целочисленного решения произвольного алгебраического …   Википедия

  • Открытые проблемы в теории чисел — Теория чисел  это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем,… …   Википедия

  • ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИИ ПРОБЛЕМА РАЗРЕШИМОСТИ — проблема отыскания алгоритма для распознавания по любому диофантову уравнению, имеет ли оно решение. Существенным в постановке проблемы является требование найти универсальный метод, к рый должен быть пригоден для любого уравнения (все известные… …   Математическая энциклопедия

  • Решение уравнения — Уравнение равенство вида или , где f и g функции (в общем случае векторные) одного или нескольких аргументов, а также задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут… …   Википедия

  • Уравнения — Уравнение равенство вида или , где f и g функции (в общем случае векторные) одного или нескольких аргументов, а также задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут… …   Википедия

  • ТУЭ МЕТОД — метод в теории диофантовых приближений, созданный А. Туэ [1] в связи с проблемой приближения алгебраич. чисел рациональными числами: найти величину v=v(n), при к рой для каждого алгебраич. числа степени n неравенство (1) имеет коночное число… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.