Группа Галуа


Группа Галуа

Гру́ппа Галуа́ — алгебраическая группа, ассоциированная с расширением поля. Играет важную роль при исследовании расширений полей, в частности, в теории Галуа. Это понятие ввёл в математику Эварист Галуа в 1832 году.

Содержание

Определение

Пусть поле K является нормальным расширением поля P. Взаимно однозначное отображение S поля K на себя называется автоморфизмом, если оно сумму переводит в сумму, а произведение — в произведение, то есть если для любых элементов \alpha, \beta поля K справедливы равенства:

(\alpha+\beta)^s=\alpha^s+\beta^s; (\alpha \beta)^s=\alpha^s\beta^s.

Группой Галуа для данного расширения поля называется совокупность всех автоморфизмов поля K, сохраняющих элементы поля P: ~\alpha^s = \alpha. Обозначение: G(K,P) или Gal(K,P).

Свойства

  • Группа Галуа всегда конечна. Её порядок (число элементов) равен степени расширения K:P.

Примеры

Применение

Расширения полей

Рассмотрим цепочку последовательных расширений полей: L_1 \subset L_2 \subset \cdots \subset L_n. Построим группу Галуа для полей, крайних в цепочке: ~G=Gal(L_n,L_1). Тогда имеет место соответствие Галуа: каждому промежуточному полю L_k в цепочке расширений взаимно-однозначно соответствует подгруппа G_k группы G, которая является группой Галуа для расширения от L_k до L_n: G_k=Gal(L_n, L_k). То есть цепочке расширений полей можно сопоставить цепочку вложенных подгрупп, которая сужается от G до тривиальной подгруппы (состоящей только из единицы). При этом подгруппы, соответствующие нормальным полям, являются нормальными делителями G, и обратно.

Это соответствие позволяет формулировать и исследовать конечные расширения полей на языке теории групп. Например, из него сразу следует, что число промежуточных полей для заданного нормального расширения всегда конечно (как число подгрупп в конечной группе).

Алгебраические уравнения

Основным полем алгебраического уравнения называется совокупность чисел, которые можно получить из коэффициентов уравнения с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения и деления. Полем разложения называется совокупность чисел, которые можно получить с помощью конечного числа тех же операций, исходя из решений уравнения. Основное поле в общем случае составляет лишь подполе поля разложения.

Принято группу Галуа, образуемую автоморфизмами поля разложения, называть группой Галуа этого уравнения. Любой автоморфизм из группы Галуа G(K,P) переводит каждый корень произвольного многочлена над полем P снова в корень этого же многочлена. Таким образом, группу Галуа любого алгебраического уравнения, не имеющего кратных корней, можно рассматривать как группу подстановок (именно так рассматривал её сам Эварист Галуа).

Литература

  • Артин Э. Теория Галуа. М.: МЦНМО, 2008. ISBN 978-5-94057-062-2.
  • Постников М. М. Теория Галуа. М.: Наука, 1963, 517.1 П 63, 220 с.;

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Группа Галуа" в других словарях:

  • ГАЛУА ГРУППА — группа автоморфизмов Галуа расширения L поля k, т. е. группа, состоящая из всех автоморфизмов поля L, оставляющих все элементы подполя k неподвижными. Г. г. обозначается или . Поле инвариантов совпадает с полем k. Если L поле разложения… …   Математическая энциклопедия

  • Галуа — Галуа, Эварист Портрет Эвариста Галуа. Сделан с натуры, когда ему было пятнадцать лет, нарисован карандашом Эварист Галуа (фр. Évariste Galois; 26 октября 1811, Бур ля Рен, О де Сен, Франция  31 мая …   Википедия

  • ГАЛУА ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ГРУППА — группа Галуа, снабженная топологией Крулля; базис фильтра этой топологии состоит из нормальных делителей конечного индекса. Если конечное расширение Галуа, то топология его группы Галуа дискретна. Если поле L объединение конечных расширений Галуа …   Математическая энциклопедия

  • ГРУППА — множество, на к ром определена операция, наз. умножением и удовлетворяющая спец. условиям (групповым аксиомам): в Г. существует единичный элемент; для каждого элемента Г. существует обратный; операция умножения ассоциативна. Понятие Г. возникло… …   Физическая энциклопедия

  • ГАЛУА ТЕОРИЯ — в наиболее общем смысле теория, изучающая те или иные математич. объекты на основе их групп автоморфизмов. Так, напр., возможны Г. т. полей, колец, топологич. пространств и т. п. В более узком смысле под Г. т. понимается Г. т. полей. Возникла эта …   Математическая энциклопедия

  • ГАЛУА КОГОМОЛОГИИ — когомологии Галуа группы. Если М абелева группа и группа Галуа расширения , действующая на М, то когомологии Галуа есть группы когомологии определяемые комплексом состоит из всех отображений , a d кограничный оператор (см. Когомологии групп).… …   Математическая энциклопедия

  • ГРУППА — один из основных типов алгебраических систем. Теория Г. изучает в самой общей форме свойства алгебраич. операций, наиболее часто встречающихся в математике и ее приложениях (примеры таких операций умножение чисел, сложение векторов,… …   Математическая энциклопедия

  • Галуа, Эварист — Эварист Галуа Évariste Galois Портрет Эвариста Галуа. Сделан с натуры, когда ему было пятнадцать лет, нарисован карандашом …   Википедия

  • Галуа Эварист — (Galois) (1811 1832), французский математик. Труды по теории алгебраических уравнений положили начало развитию современной алгебры. С идеями Галуа связаны такие её важнейшие понятия, как группа, поле и др. Научное наследие Галуа  небольшое число… …   Энциклопедический словарь

  • Группа (математика) — Теория групп …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Группа Галуа» >>