Гравитационный потенциал

У этого термина существуют и другие значения, см. Потенциал.

Гравитацио́нный потенциа́л — скалярная функция координат и времени, характеризующая гравитационное поле в классической механике. Имеет размерность квадрата скорости, обычно обозначается буквой $\varphi$. Гравитационный потенциал равен отношению потенциальной энергии материальной точки, помещённой в рассматриваемую точку гравитационного поля, к массе этой точки. Впервые понятие гравитационного потенциала ввёл в науку Адриен Мари Лежандр в конце XVIII века.

• В современных теориях гравитации роль гравитационного потенциала играют обычно тензорные поля. Так, в стандартной в наше время теории гравитации — общей теории относительности — роль гравитационного потенциала играет метрический тензор.

Гравитационный потенциал и уравнения движения

Движение частицы в гравитационном поле в классической механике определяется функцией Лагранжа, имеющей в инерциальной системе отсчета вид:

$L=\frac{m\dot q^2}{2}-m\varphi$, где: $m$ — масса частицы, $q$ — координата частицы, $\varphi$ — потенциал гравитационного поля.

Подставляя выражение для лагранжиана L в уравнения Лагранжа:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0$,

получаем уравнения движения

$\ddot q= - grad (\varphi)$.

Гравитационный потенциал и принцип эквивалентности

Уравнения движения частицы в гравитационном поле в классической механике не содержат массы или другой величины, характеризующей частицу. Это является выражением основного свойства гравитационного поля — принципа эквивалентности.

Гравитационный потенциал точечной частицы и произвольного тела

Гравитационный потенциал точечной частицы равен: $\varphi=-\frac{Gm}{R}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $m$ — масса частицы, $R$ — расстояние от частицы. Эта же формула справедлива и для гравитационного потенциала любого тела со сферически-симметричным распределением плотности массы внутри него.

Для тела с произвольным распределением плотности массы $\rho$ гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона: $\Delta \varphi=-4 \pi G \rho$, где $\Delta$ — оператор Лапласа, $\rho$ — объёмная плотность распределения массы в рассматриваемой точке. Общее решение этого уравнения имеет вид: $\varphi=-G\int_{V}\frac{\rho dV}{r},$ где r — расстояние от элемента объёма dV до рассматриваемой точки поля, а интегрирование производится по всему объёму тел, создающих поле. Гравитационный потенциал симметричного тела симметричен.

Гравитационный потенциал и потенциальная энергия

Потенциальная энергия частицы в гравитационном поле равна ее массе, умноженной на потенциал поля. Для потенциальной энергии любого распределения масс справедливо выражение:

$U=\frac{1}{2}\int{\mu \varphi dV}, \qquad\qquad (1)$

где $\mu$ — плотность массы тела, $\varphi$ — гравитационный потенциал, $V$ — объём тела.

Гравитационный потенциал постоянного гравитационного поля

Формула для гравитационного потенциала произвольного тела имеет вид:

$\varphi=-G\left(\frac{M}{R_0}+\frac{1}{6}D_{\alpha\beta}\frac{\partial^2}{\partial{X_\alpha}\partial{X_\beta}}\frac{1}{R_0}+...\right)\qquad\qquad (2),$

где $M = \int \mu dV$ — полная масса системы, а величины:

$D_{\alpha\beta}=\int \mu (3x_{\alpha}x_{\beta}-r^2\delta_{\alpha\beta}) dV$

можно назвать тензором квадрупольного момента масс. Он связан с обычным тензором моментов инерции

$J_{\alpha\beta}=\int \mu (r^2\delta_{\alpha\beta}-x_{\alpha}x_{\beta}) dV$

очевидными соотношениями

$D_{\alpha\beta}=J_{\gamma\gamma}\delta_{\alpha\beta}-3J_{\alpha\beta}.$

Гравитационный потенциал планет

$U=\frac{GM}{r}\left(1-\sum_{n=2}J_n\left(\frac{R}{r}\right)^nP_n(\sin\theta)+\sum_{n=2}^{}\sum_{k=2}^n \left(\frac{R}{r}\right)^n(C_{nm}\cos(m\lambda)+S_{nm} \sin(m\lambda)) P_n^k(\sin\theta)\right).$

Гравитационный потенциал и гравитационная энергия тела

Гравитационная энергия тела получается интегрированием выражения (1) по объёму тела с использованием выражения для потенциала (2). Для шара массы m, радиусом a, с равномерным распределением плотности масс, получается значение U гравитационной энергии тела:

$U=\frac{-3Gm^2}{5a}.$

Гравитационный потенциал и общая теория относительности

В общей теории относительности для случая слабых стационарных гравитационных полей устанавливается связь между компонентом $g_{00}$ метрического тензора пространства-времени и значением гравитационного потенциала $\varphi :$ $g_{00}=-\left(1+\frac{2\varphi}{c^2}\right).$ Относительное замедление хода времени в точке с меньшим значением гравитационного потенциала по сравнению с временем в точке с большим значением гравитационного потенциала равно разности гравитационных потенциалов в этих точках, делённой на квадрат скорости света.

См. также

• Классическая теория тяготения Ньютона

Литература

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика», учебное пособие для вузов, в 10 т. / т. 1, «Механика», 5-е изд., стереотип., М., «Физматлит», 2002, 224 с., ISBN 5-9221-0055-6 (т. 1), гл. 1 «Уравнения движения», п. 2 «Принцип наименьшего действия», с. 10-14;
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика», уче. пособ. для вузов, в 10 т. / т. 2, «Теория поля», 8-е изд., стереотип., М., «Физматлит», 2001, 536 с., ISBN 5-9221-0056-4 (т. 2), гл. 10 «Частица в гравитационном поле», п. 81 «Гравитационное поле в нерелятивистской механике», с. 304—306; гл. 12 «Поле тяготеющих тел», п. 99 «Закон Ньютона», с. 397—401;
3. С. Вейнберг «Гравитация и космология», Принципы и приложения общей теории относительности, пер. с англ. В. М. Дубовика и Э. А. Тагирова, под ред. Я. А. Смородинского, «Платон», 2000, ISBN 5-80100-306-1, ч. 2 «Общая теория относительности», гл. 3 «Принцип эквивалентности», п. 4 «Ньютоновское приближение», с. 92-93;
4. К. В. Холшевников, И. И. Никифоров Свойства гравитационного потенциала в примерах и задачах: Учебное пособие. — С-Пб., 2008. — 72 с., ББК 22.6.