Уравнение

Первое печатное появление знака равенства в книге Роберта Рекорда в 1557 году (записано уравнение $14x + 15 = 71$)

Уравне́ние — это равенство вида

$f(x_1, x_2 \dots) = g(x_1, x_2 \dots)$

или, в приведённой форме

$f(x_1, x_2 \dots) = 0,$

где $f$ и $g$ — функции (в общем случае — векторные) одного или нескольких аргументов.

Решение уравнения

Иллюстрация графического метода нахождения корней уравнения $x = f(x)$

Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).

Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными».

Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.

Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.

Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

Равносильные уравнения

Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней.

Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому.

Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения.

Третье важное свойство задается теоремой: уравнение

$f_1(x) \cdot f_2(x) = 0 \,$

эквивалентно совокупности уравнений:

$f_1 (x) = 0, \qquad f_2(x) = 0. \,$

Это означает, что все корни первого уравнения являются корнями одного из двух других уравнений и позволяет находить корни частями.

Основные свойства

С алгебраическими выражениями, входящими в уравнения, можно выполнять операции, которые не меняют его корней, в частности:

1. В любой части уравнения можно раскрыть скобки.
2. В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые.
3. Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, заменив его знак на противоположный.
4. К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение.
5. Из обеих частей уравнения можно вычесть одно и то же выражение.
6. Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.

Уравнения, которые являются результатом этих операций, являются эквивалентными начальному уравнению. Однако для свойств 4 и 5 существует ограничение: в случае прибавления к обеим частям уравнения одного и того же выражения (или в случае вычитания из обеих частей уравнения одного и того же выражения), содержащего неизвестное и теряющего смысл при неизвестном, принимающим значения корней данного уравнения, получится уравнение, неэквивалентное исходному (начальному). Но если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение (или из обеих частей уравнения вычесть одно и то же выражение), содержащее неизвестное и теряющее смысл лишь при значениях неизвестного, не являющихся корнями данного уравнения, то получится уравнение, эквивалентное начальному.

Умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, может привести, соответственно, к появлению посторонних корней или к потере корней.

Возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к появлению посторонних корней.

Следствие уравнения и посторонние корни

Уравнение

$F(x) = G(x) \,$

называется следствием уравнения

$f(x) = g(x) \,$,

если все корни второго уравнения являются корнями первого. Первое уравнение может иметь дополнительные корни, которые для второго уравнения называются посторонними. Посторонние корни могут появиться при преобразованиях, необходимых для нахождения корней уравнений. Для того чтобы их обнаружить, необходимо проверить корень подстановкой в исходное уравнение. Если при подстановке уравнение становится тождеством, то корень настоящий, если нет — посторонний.

Пример

Уравнение

$\sqrt{2x^2 -1} = x, \,$

при возведении обеих частей в квадрат дает уравнение

$2x^2 -1 = x^2, \,$ или $x^2 = 1. \,$

Оба уравнения являются следствием исходного. Последнее из них легко решить. Оно имеет два корня

$x = 1$ и $x = -1$.

При подстановке первого корня в исходное уравнение образуется тождество

$\sqrt{1} = 1. \,$

При подстановке другого корня получается неправильное утверждение:

$\sqrt{1} = -1. \,$.

Таким образом, второй корень нужно отбросить, как посторонний.

Виды уравнений

Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.

Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней.

К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней.

Уравнение, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны.

В общем случае, когда аналитического решения найти не удается, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определенного заранее заданного значения.

Примеры уравнений

• $x+3 = 2x$
• $x^2+1=0$ 
• $e^{x + y} = x + y$
• $a^n +b^n = c^n$, где $a, b, c, n$ — натуральные числа

См. также

• Линейное уравнение
• Квадратное уравнение
• Решение какого-либо уравнения построением
• Система уравнений
• Переменная

Литература

• Бекаревич, А. Б. Уравнения в школьном курсе математики / А. Б. Бекаревич. — М., 1968.
• Маркушевич, Л. А. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы / Л. А. Маркушевич, Р. С. Черкасов. / Математика в школе. — 2004. — № 1.
• Каплан Я. В. Рівняння. — Киев: Радянська школа, 1968.
• Уравнение — статья из Большой советской энциклопедии
• Уравнения // Энциклопедия Кольера. — Открытое общество. 2000.
• Уравнение // Энциклопедия Кругосвет
• Уравнение // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

Ссылки

• EqWorld — Мир математических уравнений — содержит обширную информацию о математических уравнениях и системах уравнений.