Четырнадцатая проблема Гильберта

Четырнадцатая проблема Гильберта — четырнадцатая из проблем, поставленных Давидом Гильбертом в его знаменитом докладе на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Она посвящена вопросу конечной порождённости возникающих при определённых конструкциях колец. Исходная постановка Гильберта была мотивирована работой Маурера, в которой утверждалась конечная порождённость алгебры инвариантов линейного действия алгебраической группы на векторном пространстве; собственно же вопрос Гильберта касался кольца, получаемого пересечением подполя в поле рациональных функций с кольцом многочленов.^[1]

Однако вскоре после доклада выяснилось, что работа Маурера содержала ошибку, — и вопрос Гильберта начали рассматривать как вопрос о конечной порождённости алгебр инвариантов линейных алгебраических групп. Неожиданным образом оказалось, что ответ на этот вопрос отрицателен: в 1958 году на конгрессе в Эдинбурге М. Нагата предъявил к нему контрпример^[1]. Им была построена^[2] подгруппа в GL(n), алгебра инвариантов которой не является конечно порождённой. Эта конструкция была затем упрощена^[1] Стейнбергом в его работе^[3] 1997 года.

Формулировки

Исходная формулировка Гильберта

14. Доказательство конечности некоторой полной системы функций. <...> Мауреру недавно удалось распространить доказанные Жорданом и мною теоремы конечности в теории инвариантов на случай, когда инварианты определяются не общей проективной группой, как в обыкновенной теории инвариантов, а произвольной её подгруппой. <...> Пусть дано некоторое число m целых рациональных функций $X_1,...,X_m$ от переменных $x_1,\dots,x_n$: $\left. \begin{array}{c} X_1 = f_1(x_1,\dots,x_n)\\ X_2 = f_2(x_1,\dots,x_n)\\ \vdots\\ X_m = f_m(x_1,\dots,x_n) \end{array} \right\} \qquad \qquad (S)$ Всякая целая рациональная связь между $X_1,\dots,X_m$, если в неё внесены эти их значения, очевидно, тоже представляет целую рациональную функцию от $x_1,\dots,x_n$. Вполне, однако, могут существовать дробные рациональные функции от $X_1,\dots,X_m$, которые после подстановки (S) приведут к целым функциям от $x_1,\dots, x_n$. Каждую такую функцию <...> я буду называть относительно целой функцией от $X_1,\dots,X_m$. <...> Проблема, таким образом, выражается в следующем: установить, всегда ли возможно найти такую конечную систему относительно целых функций от $X_1,\dots,X_m$, через которую любая другая относительно целая функция выражается целым и рациональным образом. <...>[4]

Иными словами, это вопрос о конечной порождённости алгебры $K\bigcap k[x_1,\dots,x_n]$, где $K$ — порождённое $X_1,\dots, X_n$ поле. Поскольку всякое промежуточное поле $k\subset K\subset k(x_1,\dots,x_n)$ является конечно-порожденым как расширение k, в итоге на современном языке исходная формулировка Гильберта звучит следующим образом:

Пусть $K\subset k[x_1,\dots,x_n]$ — некоторое поле, содержащее основное поле k. Правда ли, что алгебра $K\bigcap k[x_1,\dots,x_n]$ конечно порождена?^[1]

Конечная порождённость алгебры инвариантов

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться раздел, посвящённый формулировке для алгебры инвариантов, частному случаю конечной группы и примеру с симметрическими многочленами. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

Литература

1. ↑ ^{1 2 3 4} Записки курса И.Аржанцева «Алгебры инвариантов и 14 проблема Гильберта»
2. ↑ M. Nagata, Lectures on the Fourteenth problem of Hilbert. Tata Institute, 1965.
3. ↑ R. Steinberg, Nagata’s example. In: «Algebraic Groups Lie Groups», Austral. Math. Soc. Lect. Series 9, Cambr. University Press (1997), 375—384.
4. ↑ Перевод доклада Гильберта с немецкого — М. Г. Шестопал и А. В. Дорофеева, опубликован в книге Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — С. 45-47. — 240 с. — 10 700 экз.

• И. В. Аржанцев Градуированные алгебры и 14-я проблема Гильберта. — М.: МЦНМО, 2009. — 64 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-491-0
• Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — 240 с. — 10 700 экз.