Частота Раби

Поведение во времени населенности возбужденного состояния $~e$ двухуровневого атома для разных ситуаций: без учета (красная линия) и с учетом (синяя линия) «оттока» населенности на другие, третьи уровни. Населенность уровней в обоих случаях осциллирует с частотой Раби $~\Omega_0$ Коричневая линия показывает изменение количества атомов при спонтанном распаде с возбужденного $~e$ на спонтанный $~g$ уровень.

Частота Раби определяется выражением

$\Omega_0 = \frac{\vec{d}\cdot\vec{\mathcal{E}}}{\hbar}$,

$~d$ — дипольный момент, $~\mathcal{E}$ — электрическое поле излучения.

Двухуровневый атом:
$~g$ — основное и $~e$ — возбужденное состояния,
$~\hbar\omega_L$ — внешнее резонансное излучение с частотой $~\omega_L$

Из определения следует, что частота Раби (англ. Rabi frequency) количественно описывает взаимодействие резонансного излучения с дипольным моментом атома или молекулы. Под действием резонансного лазерного излучения интенсивностью $~\mathcal{E}^2$ населенность $b^2_e(t)$ возбужденного уровня атомной системы осциллирует с частотой Раби $~\Omega_0$ (иногда их называют биениями Раби) ^[1]:

$b^2_e(t)= \sin^2\left(\frac{\Omega_0t}{2}\right)$

Происхождение термина

Термин частота Раби назван именем американского физика, уроженца Галиции, лауреата Нобелевской премии по физике (1944 г.) Исидора Раби (англ. Isidor Isaac Rabi). В 1937 году Раби исследовал прецессию магнитного дипольного момента атома со спином 1/2 в магнитном поле и вероятность изменения направления спина атома на противоположное. Оказалось, что «переворот» спина происходит с частотой Раби, величина которой определяется выше приведенной формулой (англ. Rabi problem).

Обобщенная Раби частота

Для нерезонансного света вводится так называемая Обобщенная Раби частота $~\Omega^{'}$.

$~\Omega^{'} = \sqrt{|\Omega_{0}|^2 + |\Delta|^2}$

где $~\Delta = \omega_{L} - \omega_{0}$ есть отстройка лазерного света от резонансного атомного перехода. Обобщенная Раби частота участвует в модели Джейнса-Каммингса, которая является самой простой и в то же время адекватной моделью взаимодействия двухуровнего атома с одной модой квантованного поля в резонаторе с высокой добротностью.

Вакуумная Раби частота

В 1946 г. Пёрселл (англ. Purcell) обратил внимание на то, что скорость спонтанного излучения двухуровневой системы, помещенной в резонатор, увеличивается пропорционально отношению $~Q/V$ по сравнению со скоростью спонтанного излучения в свободном пространстве ^[2], здесь
$~Q, ~V$ — добротность и объем моды резонатора, соответственно. Если добротность резонатора $~Q=\omega/\Delta \omega_c$ велика, так что $~\Omega/\Delta\omega_c >1$, то спонтанное излучение становится обратимым, а атом обменивается энергией с созданным им же полем со скоростью, определяемой вакуумной частотой Раби $~\Omega^{v}_{0}$.

Предположим, мы имеем пустой высокодобротный одномодовый резонатор. Если в такой резонатор влетает атом, находящийся в возбужденном состоянии $~e$, то вакуумные флуктуации моды резонатора сынициируют спонтанное испускание атомом фотона. В результате атом окажется в основном состоянии $~g$. Так как резонатор добротный, то испущенный фотон перепоглотится и атом снова перейдет в возбужденное состояние. Таким образом, вследствие вакуумных флуктуаций поля в резонаторе, атом будет осциллировать между его уровнями. Такие осцилляции напоминают поведение атома под действием резонансного лазерного поля поэтому описанные переходы атома из состояния $~g$ в состояние $~e$ и обратно, вызванные вакуумными флуктуациями поля в пустом добротном резонаторе, называют вакуумной Раби частотой $~\Omega^{v}_{0}$.

Вакуумные осцилляции наблюдались на ридберговских переходах атомов в микроволновых резонаторах ^[3] и на оптических переходах в микрорезонаторах ^[4]. Аналитическое выражение для вакуумной Раби частоты имеет вид:

$~\Omega^{v}_{0}=\frac{\hat{d}\hat{E}(\vec{r})}{\hbar}$,

где $~ \hat{E}(\vec{r})=\sqrt{\frac{2\pi\hbar\omega}{V}}\vec{e}u(\vec{r})(c+c^{\dagger})$,
$~V$ — объем моды резонатора, $~\vec{e}$ — вектор поляризации моды, $~\omega$ — частота поля, $~{c+ c^{\dagger} }$ — операторы рождения и уничтожения фотона, $~u(\vec{r})$ — описывает пространственное распределение моды резонатора.

Одетые состояния («dressed states»)

(см. также Сизифово охлаждение#Переменный Штарк эффект (AC-Stark effect))

Смещение атомных уровней $g$ и $e$ под действием лазерного излучения при «голубой» (a) и «красной» (b) настройке частоты лазера. Смещение атомных уровней $\Delta{E}$ противоположно по знаку отстройки частоты лазера

У атома, находящегося в резонансном, когерентном поле, появляются новые зависящие от времени состояния, которые описывают с помощью «одетых» состояний («одетых» полем). В строгом смысле считать их собственными состояниями нельзя, но для описания системы их охотно и успешно используют.

В основе этого понятия лежит известный эффект Штарка. Атом, помещенный во внешнее электрическое поле $~\mathcal{E}$, меняет свою энергию. В результате энергетические уровни атома смещаются на величину $\Delta{E} = \vec{d}\cdot\vec{ \mathcal{E}}$, где $\vec{ d }$ — дипольный момент атома. В 1955 г. Отлер и Таунс опубликовали работу, в которой представлены результаты исследования эффекта Штарка в интенсивных резонансный полях ^[5] (см. en:Autler–Townes effect). Оказалось, что под действием переменного электрического поля, в том числе при освещении светом, уровни атома также смещаются. С этого времени этот эффект называют «Переменным Штарк-эффектом» (в англоязычной литературе этот эффект — AC-Stark effect или Autler-Townes effect):

$\Delta{E} = -c^2{\frac{\Omega^2_0}{2\delta}}$

где $\Omega_0 = \frac{\vec{d}\cdot\vec{\mathcal{E}}}{\hbar}$ — Частота Раби, $~\delta$ — отстройка частоты лазера от атомного резонанса $~\nu_{L}$ В 1977 году К. Коэн-Таннуджи ввел понятие одетые состояния.^[6]

π/2 и π импульсы

Если приложить импульс поля длительностью $~\tau$ так, что $~\Omega_0\times\tau=\pi$, то атом перейдет из состояния $~g$ в состояние $~e$ (см. формулу для $b^2(t)$). Такой импульс называют $~\pi$-импульс.

В случае, когда частица в результате импульсного воздействия за время $~\tau=\frac{\pi}{2\Omega_0}$ перейдет в суперпозиционное состояние $~\frac{g + e}{\sqrt{2}}$, такой импульс называют $~\pi/2$-импульсом.

Примечания

1. ↑ Atomic Physics, Christopher J. Foot, 346 pages, ISBN13: 9780198506959, ISBN10: 0198506953, 2005
2. ↑ E. M. Purcell, Phys.Rev. 69, 681 (1946)
3. ↑ [Y.Kaluzny, P.Goy, M.Gross et.al, Phys. Rev. Lett. 51, 1175 (1983)]
4. ↑ [R.J.Tompson, G.Rempe, and H.J.Kimble, Phys .Rev. Lett. 68, 1132 (1992)]
5. ↑ Autler, S. H; Charles Hard Townes (1955). «Stark Effect in Rapidly Varying Fields». Physical Review 100: 703. DOI:10.1103/PhysRev.100.703.
6. ↑ C. Cohen-Tannoudji, S. Reynaud (1977). «Dressed-atom description of resonance fluorescence and absorption spectra of a multi-level atom in an intense laser beam». J. Phys. B 10: 345. DOI:10.1088/0022-3700/10/3/005.

Литература

• В. С. Летохов, В. П. Чеботаев. Принципы нелинейной лазерной спектроскопии. — М.: Наука, 1975. Рецензия Е. Б. Александрова
• М. О. Скалли, М. С. Зубайри (M.O. Scully, M.S. Zubairy), Квантовая оптика, Перевод с английского под ред В. В. Самарцева, — М.: Физматлит, 2003 г.

УДК 535(082) ББК 22.34 52487

• Serge Haroche and Daniel Kleppner, Cavity Quantum Electrodynamics, Physics Today, p24, January (1989),