- Уравнение Мещерского
-
Уравнение Мещерского — основное уравнение в механике тел переменной массы, полученное И. В. Мещерским для материальной точки переменной массы (состава)
Уравнение обычно записывается в следующем виде:
,
где:
- m — масса материальной точки переменной массы, меняющаяся за счет обмена частицами с окружающей средой;
— скорость движения материальной точки переменной массы;
— внешние силы, действующие на материальную точку переменной массы со стороны ее внешнего окружения (в том числе, если такое имеет место, и со стороны среды, с которой она обменивается частицами, например электромагнитные силы — в случае массообмена с магнитной средой, сопротивление среды движению и т. п.);
— относительная скорость присоединяющихся частиц;
— относительная скорость отделяющихся частиц;
,
— скорости массообмена присоединяющихся и отделяющихся частиц;
Формула Циолковского может быть получена как результат решения этого уравнения.
Уравнение Мещерского является следствием законов механики Ньютона (в частности, второго закона Ньютона) и ряда допущений о процессе движения материальной точки переменной массы . При этом величина:
называется «реактивной силой».
Вывод уравнения МещерскогоРассмотрим производную импульса при
. При этом учтем, что импульс
системы складывается из разности:
,
где
— импульс основного тела;
— импульс отделяющихся частей;
— импульс присоединяющихся частей.
Продифференцируем результирующий импульс:
Сделаем несколько допущений:
- Будем считать скорость присоединяющихся и отделяющихся частиц постоянной. В этом случае:
- Масса основного тела из-за присоединения и отделения частиц изменяется линейно:
,
где
— масса основного тела в начальный момент времени;
— изменение массы основного тела за единицу времени.
Тогда:
Введя относительные скорости частиц
и добавив равнодействующую внешних сил, получим уравнение Мещерского.
История открытия
Уравнение движения материальной точки переменной массы для случая присоединения (или отделения) частиц было получено и основательно исследовано в магистерской диссертации И. В. Мещерского, защищенной в Петербургском Университете 10 декабря 1897 года[1]. Первое сообщение об уравнении движения материальной точки переменной массы в общем случае одновременного присоединения и отделения частиц было сделано И. В. Мещерским 24 августа 1898 года на заседании секции математики и астрономии X съезда русских естествоиспытателей и врачей в Киеве, широкую известность оно получило позднее, после работы «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае», напечатанной в «Известиях Петербургского политехнического института» в 1904 году[2].
Следует отметить, что по исследованиям Г. К. Михайлова, изложенных в его докторской диссертации[3] и работе «Георг Бюкуа и начала динамики систем с переменными массами»[4], аналогичное уравнение было установлено чешским учёным-любителем Георгом Бюкуа (1781—1851) еще в работах 1812—1814 гг.
Примечания
- ↑ Мещерский И. В. Работы по механике тел переменной массы. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. — С. 37.
- ↑ Мещерский И. В. Работы по механике тел переменной массы. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. — С. 222.
- ↑ Развитие основ динамики системы переменного состава и теории реактивного движения. — М.: 1977
- ↑ «Исследования по истории физики и механики». Москва: Наука, 1986, с. 191—238
Литература
- Механика тел переменной массы — статья из Физической энциклопедии
Ссылки
Категории:- Динамика
- Физические законы и уравнения
Wikimedia Foundation. 2010.