Топологическая семантика

Топологическая семантика является естественной семантикой для неклассических логик, таких как интуиционистская логика и модальная логика. Исторически топологическая семантика появилась раньше более распространенной на данной момент семантики Крипке. Основы топологической семантики были заложены в работах Куратовского.

Топологическая семантика для модальной логики

Пусть $X$ — топологическое пространство, топологической моделью называется пара $M = (X, V)$, где $V$ — это оценка, которая каждой переменной ставит в соответствие множество точек топологического пространства, в которых эта переменная считается истинной. А именно, $V: Var \to 2^X$, где $Var$ — множество пропозициональных переменных. Истинность модальной формулы $A$ в точке $x$ топологической модели определяется индукцией по длине формулы:

$M, x\models p$, если  $x\in V(p)$
$M, x\not\models \perp$
$M, x\models \lnot A$, если $M, x\not\models A$
$M, x\models A \land B$, если $M, x\models A$ и $M, x\models B$
$M, x\models A \lor B$, если $M, x\models A$ или $M, x\models B$
$M, x\models A \to B$, если $M, x\not\models A$ или $M, x\models B$
$M, x\models \Box A$, если существует окрестность $U$ точки $x$, такая что $\forall y:(y\in U \Rightarrow M, y\models A)$

Формула называется общезначимой в топологической модели, если она истинна во всех точках модели.

Формула называется общезначимой в топологическом пространстве, если она общезначима во всех моделях в этом пространстве.

Благодаря свойствам топологических пространств в любой топологической моделе наряду с аксиомой нормальности общезначимы следующие формулы:

$\Box p \to p$
$\Box p \to \Box \Box p$

Для шкал Крипке эти формулы, соответственно, задают рефлексивность и транзитивность отношения. Наименьшая нормальная модальная логика, содержащая эти формулы, называется S4.

Связь с семантикой Крипке

Пусть $F = (W, R)$ - шкала Крипке, такая что $R$ - транзитивное и рефлексивное отношение (т.е.$F$ является предпорядком). На шкале $F$ можно естественным образом определить топологическое пространство $Top(F)$. Базой топологии этого пространства являются множества вида

$R(x) = \{y \;|\; xRy \}$.

Другими словами, в $Top(F)$ открытыми считаются все такие множества $U \subseteq W$ для которых верно, что

$x \in U \land xRy \Rightarrow y \in U$.

Для любой точки, для любой оценки и любой формулы верно, что

$F, V, x \models A \iff Top(F), V, x \models A$