Топологическая семантика

Топологическая семантика

Топологическая семантика является естественной семантикой для неклассических логик, таких как интуиционистская логика и модальная логика. Исторически топологическая семантика появилась раньше более распространенной на данной момент семантики Крипке. Основы топологической семантики были заложены в работах Куратовского.

Топологическая семантика для модальной логики

Пусть X — топологическое пространство, топологической моделью называется пара M = (X, V), где V — это оценка, которая каждой переменной ставит в соответствие множество точек топологического пространства, в которых эта переменная считается истинной. А именно, V: Var \to 2^X, где Var — множество пропозициональных переменных. Истинность модальной формулы A в точке x топологической модели определяется индукцией по длине формулы:

M, x\models p, если  x\in V(p)
M, x\not\models \perp
M, x\models \lnot A, если M, x\not\models A
M, x\models A \land B, если M, x\models A и M, x\models B
M, x\models A \lor B, если M, x\models A или M, x\models B
M, x\models A \to B, если M, x\not\models A или M, x\models B
M, x\models \Box A, если существует окрестность U точки x, такая что \forall y:(y\in U \Rightarrow M, y\models A)

Формула называется общезначимой в топологической модели, если она истинна во всех точках модели.

Формула называется общезначимой в топологическом пространстве, если она общезначима во всех моделях в этом пространстве.

Благодаря свойствам топологических пространств в любой топологической моделе наряду с аксиомой нормальности общезначимы следующие формулы:

\Box p \to p
\Box p \to \Box \Box p

Для шкал Крипке эти формулы, соответственно, задают рефлексивность и транзитивность отношения. Наименьшая нормальная модальная логика, содержащая эти формулы, называется S4.

Связь с семантикой Крипке

Пусть F = (W, R) - шкала Крипке, такая что R - транзитивное и рефлексивное отношение (т.е.F является предпорядком). На шкале F можно естественным образом определить топологическое пространство Top(F). Базой топологии этого пространства являются множества вида

R(x) = \{y \;|\; xRy \}.

Другими словами, в Top(F) открытыми считаются все такие множества U \subseteq W для которых верно, что

x \in U \land xRy \Rightarrow y \in U.

Для любой точки, для любой оценки и любой формулы верно, что

F, V, x \models A \iff Top(F), V, x \models A

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "Топологическая семантика" в других словарях:

  • Модальная логика — Модальная (от лат. – способ, мера) логика логика, в которой кроме стандартных логических связок, переменных и/или предикатов есть модальности (модальные операторы). Модальности бывают разные; наиболее распространены временные («когда то в… …   Википедия

  • Модальность (логика) — Модальная логика логика в которой кроме стандартных логических связок, переменных и/или предикатов есть модальности (модальные операторы). Модальности бывают разные; наиболее распространены временные («когда то в будущем», «всегда в прошлом»,… …   Википедия

  • Список статей по математической логике —   Это служебный список статей, созданный для координации работ по развитию темы.   Данное предупреждение не ус …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»