Теорема Крейна — Мильмана


Теорема Крейна — Мильмана

Теорема Крейна — Мильмана

Extreme points illustration.png

Теорема Крейна — Мильмана — важный факт из выпуклого анализа в линейных топологических пространствах. Для бесконечномерных пространств данная теорема, как и многие другие результаты, не может быть доказана без применения аксиомы выбора или эквивалентных ей утверждений теории множеств.

пусть L — локально-выпуклое пространство, K — выпуклый компакт в L, E — совокупность крайних точек K. Тогда K совпадает с замыканием выпуклой оболочки множества E.

Доказана советскими математиками Марком Григорьевичем Крейном и Давидом Пинхусовичем Мильманом.

Доказательство

Пусть H — выпуклая оболочка крайних точек K. Так как K компактно и выпукло, то замыкание \bar{H}\subset K. Поэтому \bar{H} компактно. Предположим, что некоторая точка x_0\in K и x_0\notin \bar{H}. Применяя теорему Хана — Банаха к x0 и \bar{H}, показать, что K_\Lambda\notin \bar{H} (\Lambda\in \bar{H} — теорема Хана — Банаха). Таким образом мы получаем противоречие построению \bar{H}.

Теорема доказана.

Одно из приложений этой теоремы — доказательство неизоморфности различных банаховых пространств; другое — изящное доказательство де Бранжа теоремы Стоуна — Вейерштрасса.

Литература

  • Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа, 1988.



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Теорема Крейна — Мильмана" в других словарях:

  • Теорема Крейна — Мильмана важный факт из выпуклого анализа в линейных топологических пространствах. Для бесконечномерных пространств данная теорема …   Википедия

  • Функциональный анализ (математ.) — Функциональный анализ, часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание методов… …   Большая советская энциклопедия

  • Функциональный анализ — I Функциональный анализ         часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание… …   Большая советская энциклопедия

  • Крейн, Марк Григорьевич — Марк Григорьевич Крейн математик …   Википедия

  • Крейн, Марк — Марк Григорьевич Крейн (3 апреля 1907, Киев 17 октября 1989 года) выдающийся советский математик, еврей по национальности, автор более 250 работ (в том числе 7 монографий, многие из которых переведены на иностранные языки) по различным разделам… …   Википедия

  • Крейн М. Г. — Марк Григорьевич Крейн (3 апреля 1907, Киев 17 октября 1989 года) выдающийся советский математик, еврей по национальности, автор более 250 работ (в том числе 7 монографий, многие из которых переведены на иностранные языки) по различным разделам… …   Википедия

  • Крейн М. — Марк Григорьевич Крейн (3 апреля 1907, Киев 17 октября 1989 года) выдающийся советский математик, еврей по национальности, автор более 250 работ (в том числе 7 монографий, многие из которых переведены на иностранные языки) по различным разделам… …   Википедия

  • Крейн Марк Григорьевич — Марк Григорьевич Крейн (3 апреля 1907, Киев 17 октября 1989 года) выдающийся советский математик, еврей по национальности, автор более 250 работ (в том числе 7 монографий, многие из которых переведены на иностранные языки) по различным разделам… …   Википедия

  • Марк Григорьевич Крейн — (3 апреля 1907, Киев 17 октября 1989 года) выдающийся советский математик, еврей по национальности, автор более 250 работ (в том числе 7 монографий, многие из которых переведены на иностранные языки) по различным разделам алгебры, анализа, теории …   Википедия

  • Марк Крейн — Марк Григорьевич Крейн (3 апреля 1907, Киев 17 октября 1989 года) выдающийся советский математик, еврей по национальности, автор более 250 работ (в том числе 7 монографий, многие из которых переведены на иностранные языки) по различным разделам… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.