Ориентация


Ориентация

Ориентация, в классическом случае — выбор одного класса систем координат, связанных между собой «положительно» в некотором определённом смысле. Каждая система задает ориентацию, определяя класс, к которому она принадлежит.

В элементарной математике ориентация часто описывается через понятие «направления по и против часовой стрелки».

Ориентация определяется только для некоторых специальных классов пространств (многообразий, векторных расслоений, комплексов Пуанкаре и т. д.). Современный взгляд на ориентацию даётся в рамках обобщённых теорий когомологий.

Содержание

Конечномерное векторное пространство

В случае векторного пространства конечной размерности над полем вещественных чисел две системы координат считаются связанными положительно, если положителен определитель матрицы перехода от одной из них к другой.

Замечания

Для общего поля определение ориентации представляет трудности. Например, в комплексном пространстве \mathbb C^n комплексный репер e_1,e_2,...,e_n определяет вещественный репер e_1,e_2,...,e_n, ie_1,ie_2,...,ie_n в том же пространстве, рассматриваемом как \R^{2n}, и все такие реперы связаны попарно положительными переходами (иначе говоря, комплексная структура задаёт ориентацию в \R^{2n}).

Вариации и обобщения

Аффинное пространство

На прямой, плоскости и вообще в вещественном аффинном пространстве A системы координат состоят из точки (начала O) и репера \{e_i\}, переход определяется вектором переноса начала и заменой репера. Этот переход положителен, если положителен определитель матрицы замены (например, при чётной перестановке векторов репера).

Две системы координат определяют одну и ту же ориентацию, если одну из них можно перевести в другую непрерывно, то есть существует непрерывно зависящее от параметра t\in[0, 1] семейство координатных систем O(t), \{e_i(t)\}, связывающее данные системы O, \{e_i\} и O', \{e'_i\}.

При отражении в гиперплоскости системы двух классов переходят друг в друга.

Ориентация может быть задана порядком вершин n-мерного симплекса (треугольника в двумерном случае, тетраэдра в трёхмерном), Репер определяется условием: в первую вершину помещается начало, в остальные из первой направляются векторы репера. Два порядка задают одну ориентацию, если и только если они отличаются на чётную перестановку. Симплекс с фиксированным с точностью до чётной перестановки порядком вершин называется ориентированным. Каждая (n-1)-грань ориентированного симплекса получает индуцированную ориентацию: если первая вершина не принадлежит грани, то порядок остальных принимается для неё за положительный.

Многообразия

В связном многообразии M системой координат служит атлас — набор карт, покрывающих M. Атлас называется ориентирующим, если координатные преобразования все положительны. Это означает, что их степени равны +1, а в случае дифференцируемого многообразия положительны якобианы преобразования во всех точках. Если ориентирующий атлас существует, то многообразие M называется ориентируемым. В этом случае все ориентирующие атласы распадаются на два класса, так что переход от карт одного атласа к картам другого положителен, если и только если атласы принадлежат одному классу. Выбор такого класса называется ориентацией многообразия. Этот выбор может быть сделан указанием одной карты или локальной ориентации в точке. В случае дифференцируемого многообразия локальную ориентацию можно задать указанием репера в касательной плоскости в точке. Если M имеет край и ориентировано, то край также ориентируем, например по правилу: в точке края берётся репер, ориентирующий M, первый вектор которого направлен из M, а остальные векторы лежат в касательной плоскости края, эти последние и принимаются за ориентирующий репер края.

Дезориентирующий контур

Дезориентирующий контур — замкнутая кривая в многообразии, обладающая тем свойством, что при её обходе локальная ориентация меняет знак.

Дезориентирующий контур имеется только в неориентируемом многообразии M, причём однозначно определён гомоморфизм фундаментальной группы \pi_1(M) на \mathbb Z_2 с ядром, состоящим из классов петель, не являющихся дезориентирующими.

Вдоль любого пути q: [0, 1]\to M можно выбрать цепочку карт так, что две соседние карты связаны положительно. Тем самым ориентация в точке q(0) определяет ориентацию в точке q(1), и эта связь зависит от пути q лишь с точностью до его непрерывной деформации при фиксированных концах. Если q — петля, то есть q(0) = q(1)=x_0, то q называется дезориентирующим контуром, если эти ориентации противоположны. Возникает гомоморфизм фундаментальной группы \pi_1(M,x_0) в группу порядка 2: дезориентирующие петли переходят в -1, а остальные в +1. По этому гомоморфизму строится накрытие, являющееся двулистным в случае неориентируемого многообразия. Оно называется ориентирующим (так как накрывающее пространство будет ориентируемым). Этот же гомоморфизм определяет над M одномерное расслоение, тривиальное, если и только если M ориентируемо. Для дифференцируемого M оно может быть определено как расслоение \Omega^n(M) дифференциальных форм порядка n=\operatorname{dim} M. Ненулевое сечение в нём существует лишь в ориентируемом случае и задаёт форму объёма на M и одновременно ориентацию.

На языке гомологий

Ориентация может быть определена на гомологическом языке: для связного ориентируемого многообразия без края группа гомологий H^n(M,\Z) (с замкнутыми носителями) изоморфна \Z, и выбор одной из двух образующих задаёт ориентацию — отбираются карты с положительными степенями отображений. Для связного многообразия с краем то же верно и для H^n(M,\partial M,\Z). В первом случае ориентируемость есть гомотопический инвариант M, а во втором — пары (M,\partial M). Так, лист Мёбиуса и кольцо имеют один и тот же абсолютный гомотопический тип, но разный — относительно края.

Локальная ориентация многообразия может быть также задана выбором образующей в группе H^n(M,M\backslash x_0,\Z), изоморфной \Z Гомологическая интерпретация ориентации позволяет перенести это понятие на обобщённые гомологические многообразия.

Псевдомногообразия

Триангулированное многообразие M (или псевдомногообразие) ориентируемо, если можно ориентировать все n-мерные симплексы так, что два симплекса с общей (n-1)-мерной гранью индуцируют на ней противоположные ориентации. Замкнутая цепочка n-мерных симплексов, каждые два соседа в которой имеют общую (n-1)-грань, называется дезориентирующей, если эти симплексы могут быть ориентированы так, что первый и последний симплексы индуцируют на общей грани совпадающие ориентации, а остальные соседи — противоположные.

Расслоения

Пусть над пространством B задано расслоение p:E\to B со стандартным слоем F. Если ориентацию всех слоев можно выбрать так, что любое (собственное) отображение, определённое путем в B однозначно с точностью до собственной гомотопии, сохраняет ориентацию, то расслоение называется ориентированным, а указанный выбор ориентации слоёв — ориентацией расслоения. Например, лист Мёбиуса, рассматриваемый как векторное расслоение над окружностью, не обладает ориентацией, в то время как боковая поверхность цилиндра — обладает.

Бесконечномерные пространства

Понятие ориентации допускает естественное обобщение и для случая бесконечномерного многообразия, моделированного при помощи бесконечномерного банахова или топологического векторного пространства. При этом необходимы ограничения на линейные операторы, являющиеся дифференциалами функций перехода от карты к карте: они должны не просто принадлежать общей линейной группе всех изоморфизмов моделирующего пространства, которая гомотопически тривиальна (в равномерной топологии) для большинства классических векторных пространств, а содержаться в некоторой линейно несвязной подгруппе общей линейной группы. Тогда компонента связности данной подгруппы и будет задавать «знак» ориентации. В качестве такой подгруппы обычно выбирается фредгольмова группа, состоящая из тех изоморфизмов моделирующего пространства, для которых разность с тождественным изоморфизмом есть вполне непрерывный оператор.

См. также

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «ориентация»

Wikimedia Foundation. 2010.

Синонимы:

Смотреть что такое "Ориентация" в других словарях:

  • ориентация — и, м. orientation f. <лат. oriens /orientis (восток). 1. Определение собственного местонахождения в отношении стран света и окружающей местности. БАС 1. || Способность определить свое местонахождение. Терять ориентацию. БАС 1. || перен. Умение …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • ОРИЕНТАЦИЯ — ОРИЕНТАЦИЯ, ориентации, жен. (франц. orientation) (книжн.). 1. только ед. Действие по гл. ориентировать ориентироваться. 2. только ед., перен. Умение разобраться, осведомленность в чем нибудь. Хорошая ориентация в новейшей исторической литературе …   Толковый словарь Ушакова

  • ориентация — настроенность, нацеливание, устремленность, тенденция, текстура, крен, направленность, ориентирование, характер, ориентировка, течение, курс, уклон, ставка, ход, установка, линия, интерес, нацеленность, направление Словарь русских синонимов.… …   Словарь синонимов

  • ОРИЕНТАЦИЯ — (французское orientation, буквально направление на восток, от латинского oriens восток), 1) то же, что ориентирование. 2) Умение разобраться в окружающей обстановке, осведомлённость в чём либо. 3) Направленность деятельности, определяемая… …   Современная энциклопедия

  • ОРИЕНТАЦИЯ — (франц. orientation букв. направление на восток, от лат. oriens восток),..1) определение своего местоположения на местности2)] Умение разобраться в окружающей обстановке, осведомленность в чем либо3) Направленность деятельности, определяемая… …   Большой Энциклопедический словарь

  • ОРИЕНТАЦИЯ — обобщение понятия направления на прямой на геометрические фигуры более общей структуры. Напр., ориентация замкнутой кривой указание направления на ней (по часовой стрелке или против) …   Большой Энциклопедический словарь

  • ОРИЕНТАЦИЯ — космического аппарата ..1) положение геометрических осей аппарата относительно небесных тел, силовых линий магнитного или гравитационного полей;..2) придание осям аппарата определенного положения относительно выделенных направлений …   Большой Энциклопедический словарь

  • ОРИЕНТАЦИЯ — ОРИЕНТАЦИЯ, в навигации определение положения судов, самолетов и космических кораблей в пространстве. Это положение определяют три переменные величины: тангаж угол, образуемый с горизонталью продольной осью корабля, снос угол, под которым нос… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • ориентация — ОРИЕНТИРОВАТЬ, рую, руешь; анный; сов. и несов. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

  • ОРИЕНТАЦИЯ — (от лат. oriens восток) англ. orientation; нем. Orientierung. 1. Определение положения данной точки в пространстве. 2. Совокупность действий субъекта, направленных на оценку проблемной ситуации, ее обследование и планирование поведения. 3. Умение …   Энциклопедия социологии

  • ОРИЕНТАЦИЯ — (франц. orientation от лат. oriens, orientis восток) 1) направленность действий экономического субъекта и выбор им такой направленности; 2) побуждение, предписание действовать определенным образом. Райзберг Б.А., Лозовский Л.Ш., Стародубцева Е.Б …   Экономический словарь

Книги

Другие книги по запросу «Ориентация» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.