Неустойчивость Рэлея — Тейлора


Неустойчивость Рэлея — Тейлора

Неустойчивость Рэлея — Тейлора

Развитие нестабильности Рэлея — Тейлора.

Неустойчивость Рэлея — Тейлора — возникает между двумя контактирующими сплошными средами различной плотности, когда более тяжёлая жидкость толкает более лёгкую. Примером такой неустойчивости может служить неустойчивость капли воды на поверхности масла — вода будет пытаться проникнуть сквозь масло.

Основным параметром, определяющим скорость развития этой нестабильности является число Атвуда.

Содержание

Аналитическое описание

Задача о неустойчивости Рэлея — Тейлора имеет аналитическое решение в рамках линейной теории устойчивости.

Пусть два протяжённых плоских горизонтальных слоя жидкости расположены в поле тяжести \vec{g} друг над другом, причём более тяжёлая жидкость 1 находится вверху (на иллюстрации - синий цвет), плотности жидкостей ρ12. Верхняя и нижняя границы - твёрдые. Для простоты удобно пользоваться моделью невязкой несжимаемой жидкости, тогда система описывается уравнением Эйлера:


\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \nabla \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \nabla P + \vec{g},

\operatorname{div} \vec{v} = 0.

В дальнейшем компоненты скорости определяются как \vec{v} = \left\{ u, v, w \right\}. Вполне очевидно, что равновесное решение (\vec{v} = 0) удовлетворяет модели, при этом из уравнения Эйлера для давления получается следующее:


\frac{\partial P}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial P}{\partial z} = - \rho g

Откуда определяется равновесное распределение давления (известный результат для давления столба жидкости):

P0 = − ρgz.

Внесём в равновесное состояние малые возмущения. Пусть скорость \vec{v} настолько мала, что можно пренебречь нелинейным слагаемым \left( \vec{v} \cdot \nabla \right) \vec{v} в уравнении Эйлера, а давление имеет вид P = P0 + P', где P' < < P0. Тогда получим линейную систему уравнений для малых возмущений (далее штрих у давления опущен):


\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = - \frac{1}{\rho} \nabla P,

\operatorname{div} \vec{v} = 0.

Граничные условия задаются исходя из соображений равенства z-компонент скорости жидкостей 1 и 2 на границе раздела и наличия поверхностного натяжения. На верхней и нижней границах, т.к. жидкость идеальная, работают условия непротекания. Удобно принять координату границы раздела в равновесии за 0. На ней выполняется кинематическое условие


\quad \frac{\partial \zeta}{\partial t} = w,

и динамическое условие


\left(P_1 - P_2\right) - \left( \rho_1 - \rho_2 \right) g \zeta = \sigma \Delta \zeta.

Условие непротекания верхней и нижней границ:


z=\pm h: \quad w = 0,

где ζ - величина отклонения границы от невозмущённой, σ - коэффициент поверхностного натяжения. Полученная задача для возмущений легко решается.

Положим, что возмущения имеют вид:


\vec{v}, P, \zeta \sim e^{\lambda t} e^{i \left( k_x x + k_y y \right)},

где λ - скорость роста (инкремент) возмущения, kx,ky - компоненты волнового вектора возмущения границы.

Из уравнения Эйлера выражается w:


\lambda w = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial z},

а условие несжимаемости \operatorname{div}\vec{v} = 0 даёт уравнение Лапласа для давления. В итоге, скорость течения из задачи удаётся исключить. Остаётся линейное уравнение:


\frac{\partial^2 P}{\partial z^2} - k^2 P = 0,

с граничными условиями:


z=0: \quad \left( P_1 - P_2 \right) - \left( \rho_1 - \rho_2 \right) g \zeta = -\sigma k^2 \zeta,

z=0: \quad \frac{1}{\rho_1} \frac{\partial P_1}{\partial z} - \frac{1}{\rho_2} \frac{\partial P_2}{\partial z} = 0,

z=\pm h: \quad \frac{\partial P}{\partial z}=0.

Решение уравнения Лапласа для давления:


P_1 = C_1 \cosh k \left( h - z \right),

P_2 = C_2 \cosh k \left( h + z \right).

Константы C1,C2 определяются из кинематического условия. Динамическое условие даёт связь между инкрементом и модулем волнового вектора


\lambda^2 = \frac{\left( \rho_1 - \rho_2 \right)g - \sigma k^2 }{\rho_1 + \rho_2} k \tanh kh,

откуда непосредственно следует выражение для критического волнового числа возмущений (при λ = 0):

k_c^2 = \left( \rho_1 - \rho_2 \right) \frac{g}{\sigma}.

Если длина волны больше критической, то возмущения границы будут нарастать.

В предельном случае бесконечно глубоких слоёв (kh > > 1) наибольшая скорость роста возмущений достигается при волновом числе

k_m^2 = \left( \rho_1 - \rho_2 \right) \frac{g}{3 \sigma}.

В тонких слоях (kh < < 1):

k_m^2 = \left( \rho_1 - \rho_2 \right) \frac{g}{2 \sigma}.

В природе

Литература

  • Лабунцов Д.А., Ягов В.В. Механика двухфазных систем. // М.: Изд-во МЭИ, 2000. - с. 143-146.
  • Векштейн Г.Е. Физика сплошных сред в задача. // М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - с. 109-111.

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Неустойчивость Рэлея — Тейлора" в других словарях:

  • Неустойчивость Рэлея-Плато — Неустойчивость Рэлея Плато  в физике жидкостей фундаментальное ограничение, которое утверждает, что даже в условиях полной невесомости столб жидкости разрушается, если его длина превышает радиус кривизны поверхности жидкости.[1] Открыто… …   Википедия

  • Неустойчивость Рэлея — Неустойчивость Рэлея  Плато  в физике жидкостей фундаментальное ограничение, которое утверждает, что даже в условиях полной невесомости столб жидкости разрушается, если его длина превышает радиус кривизны поверхности жидкости.[1]… …   Википедия

  • неустойчивость Рэлея-Тейлора в ионосфере — Частный случай градиенто токовой неустойчивости, обусловленной дрейфом заряженных частиц перпендикулярно гравитационному и геомагнитному полям. [ГОСТ 25645.113 84] Тематики ионосфера земли Обобщающие термины волны и неустойчивости ионосферной… …   Справочник технического переводчика

  • Неустойчивость Кельвина—Гельмгольца — Нестабильность Кельвина Гельмгольца на Сатурне, образованная взаимодействием двух слоёв атмосферы …   Википедия

  • Неустойчивость Кельвина — Нестабильность Кельвина  Гельмгольца на Сатурне, образованная взаимодействием двух слоёв атмосферы …   Википедия

  • Неустойчивость Рихтмайера — Мешкова — Неустойчивость Рихтмайера  Мешкова  возникает между двумя контактирующими сплошными средами различной плотности, когда поверхность раздела испытывает ускорение, например при прохождении ударной волны. Развитие нестабильности начинается… …   Википедия

  • Неустойчивость Рихтмайера — Неустойчивость Рихтмайера  Мешкова  возникает между двумя контактирующими сплошными средами различной плотности, когда поверхность раздела испытывает ускорение, например при прохождении ударной волны. Развитие нестабильности начинается… …   Википедия

  • Гравитационная неустойчивость — (неустойчивость Джинса)  нарастание со временем пространственных флуктуаций скорости и плотности вещества под действием сил тяготения (гравитационных возмущений). Гравитационная неустойчивость ведёт к образованию неоднородностей (сгустков) в …   Википедия

  • Гидродинамическая устойчивость — Развитие неустойчивости Кельвина Гельмгольца в атмосфере Сатурна Теория гидродинамической устойчивости  раздел гидродинамики и теории устойчивости, изучающий услов …   Википедия

  • МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА — (сокращенно МГД), раздел науки, занимающийся взаимодействием электропроводящих потоков с электрическим и магнитным полями. Когда в поперечном магнитном поле движется текучая среда, проводящая электричество, в ней наводятся токи. Эти токи вызывают …   Энциклопедия Кольера