Неравенство Мюрхеда

Неравенство Мюрхеда позволяет сравнивать значения некоторых симметрических многочленов на одном и том же наборе неотрицательных значений аргументов.

Вводные определения

Пусть $\alpha = (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)$ — упорядоченный набор целых неотрицательных чисел $\alpha_1\leqslant \alpha_2\leqslant \dots\leqslant \alpha_n$. Через $T_\alpha (x_1,x_2,\dots,x_n)$ будем обозначать симметрический многочлен от n переменных, который есть по определению сумма одночленов вида $x_{\pi(1)}^{\alpha_1} x_{\pi(2)}^{\alpha_2} \cdots x_{\pi(n)}^{\alpha_n}$ по всем перестановкам $\pi$ порядка n.

Неравенство Мюрхеда

Пусть $\displaystyle \alpha = (\displaystyle \alpha_{1}^{},...,\displaystyle \alpha_{n}^{})$ и $\displaystyle \beta = (\displaystyle \beta_{1}^{},...,\displaystyle \beta_{n}^{})$ — два набора показателей с равной суммой. Если $\alpha \succ \beta$, то при всех неотрицательных $x_1,...,x_n$ выполняется неравенство

$T_\alpha(x_1,..., x_n) \displaystyle \geqslant T_\beta(x_1,..., x_n)$.

Ссылки

• Неравенство Мюрхеда на сайте problems.ru
• В. В. Прасолов Глава 11.3. Неравенства Мюрхеда // Многочлены. — МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Связать? Воспользоваться подсказкой и установить ссылки из других статей Википедии. Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).