Кратность (критической точки)

У этого термина существуют и другие значения, см. Кратность.

Кратность критической точки $C^{\infty}$-гладкой функции $f: \R^n\to\R$ — размерность так называемой локальной алгебры градиентного отображения.

Пусть $f: \R^n\to\R$ — $C^{\infty}$-гладкая функция от $n$ переменных $x_1, \ldots, x_n$, имеющая $O\in\R^n$ своей критической точкой. Соответствующее градиентное отображение $\nabla f: \R^n\to\R^n$ задается формулой $(x_1, \ldots, x_n) \mapsto (\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n).$ Введем следующие обозначения: $\R[[x_1, \ldots, x_n]]$ — алгебра формальных степенных рядов от переменных $x_1, \ldots, x_n$ с центром в $O.$ $I_{\nabla f} = (\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n)$ — идеал в алгебре гладких функций, порожденный образующими $\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n.$ Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение $I_{\nabla f}$ в алгебру $\R[[x_1, \ldots, x_n]]$. Локальной алгеброй градиентного отображения в точке $O$ называется факторалгебра $\R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{\nabla f},$ а её размерность $\mu = \dim \, \R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{\nabla f}$ называется кратностью функции $f$ в точке $O.$

В случае, когда функции $\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n$ имеют в точке $O$ линейно независимые градиенты (это условие равносильно тому, что гессиан функции $f$ отличен от нуля), кратность $\mu=1$, и критическая точка $O$ называется невырожденной. Удобно также положить $\,\mu=0$ в случае некритической точки.

Случай $n=1$

В этом случае кратность $\mu$ критической точки $O$ может быть определена следующим условием:

$\frac{d^i f}{d x^i}(O) = 0 \quad (\forall i=1, \ldots, \mu), \quad \frac{d^{\mu+1} f}{d x^{\mu+1}}(O) \neq 0.$

Значение $\,\mu=0$ соответствует некритической точке.

Действительно, так как в этом случае степенной ряд функции $\nabla f = {\partial f}/{\partial x}$ начинается с члена $x^{\mu},\,$ то любой элемент $g \in \R[[x]]$ представим в виде $g=p_{\mu-1}+ \alpha \cdot \nabla f$, где $\alpha \in \R[[x]]$ и $p_{\mu-1}\,$ — многочлен степени $\mu-1,\,$ задаваемый $\mu\,$ коэффициентами, т.е. $\dim \, \R[[x]]/I_{\nabla f} = \mu.$

Теорема Тужрона в этом случае принимает тривиальный вид: в окрестности критической точки конечной кратности $\mu$ существуют координаты, в которых функция имеет вид $f(x)=x^{\mu+1}.\,$

Теорема деления

Пусть $f: \R^{n+1}\to\R$ — гладкая функция от $n+1$ переменной $x,y_1, \ldots, y_n$, имеющая точку $0\in\R^{n+1}$ своей критической точкой кратности $0 \le \mu < \infty$ по переменной $x\,$, т.е. $\frac{\partial^i f}{\partial x^i}(0) = 0 \quad (\forall i=1, \ldots, \mu), \quad \frac{\partial^{\mu+1} f}{\partial x^{\mu+1}}(0) \neq 0. \quad \ (*)$ Тогда в окрестности точки $0$ функция $f$ представима в виде $f(x,y_1, \ldots, y_n) = \varphi(x,y_1, \ldots, y_n) \cdot \Bigl(x^{\mu+1}+ \sum_{i=0}^{\mu} a_{i}(y_1, \ldots, y_n)x^{\mu-i}\Bigr), \quad \ (**)$ где $\varphi$ и $a_{i}\,$ — гладкие функции своих аргументов, $\varphi(x,y_1, \ldots, y_n)$ не обращается в нуль и $a_{i}(0,\ldots,0)=0\,$ для всех $\,i<\mu$.

Впервые эта теорема была доказа Вейерштрассом для голоморфных функциий комплексных переменных^[1] (теорема деления по Вейерштрассу). Приведённый выше вещественный аналог часто называют теоремой деления по Мальгранжу или по Мазеру.

Критические точки отображений

Кратность критической точки $C^{\infty}$-гладкого отображения $f: \R^n\to\R^n$, где $n>1$, — это размерность локальной алгебры данного отображения.

Пусть $f: \R^n\to\R^n$ — $C^{\infty}$-гладкое отображение, имеющее $O\in\R^n$ своей критической точкой. Отображение $\,f$ задается набором $n$ функций $f_1, \ldots, f_n$ от $n$ переменных $x_1, \ldots, x_n$. Введем следующие обозначения: $\R[[x_1, \ldots, x_n]]$ — алгебра формальных степенных рядов от переменных $x_1, \ldots, x_n$ с центром в $O.$ $I_{f} = (f_1, \ldots, f_n)$ — идеал в алгебре гладких функций, порожденный образующими $f_1, \ldots, f_n.$ Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение $\,I_{f}$ в алгебру $\R[[x_1, \ldots, x_n]]$. Локальной алгеброй отображения в точке $O$ называется факторалгебра $\R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{f},$ а её размерность $\mu = \dim \, \R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{f}$ называется кратностью отображения $f$ в точке $O.$

См. также

• Критическая точка (математика)
• Лемма Морса. Теорема Тужрона

Литература

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
• Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, — Любое издание.
• Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности, — М.: Мир, 1977.
• Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, — М.: Мир, 1968.
• Сборник статей: Особенности дифференцируемых отображений, — М.: Мир, 1968.
• Паламодов В.П. О кратности голоморфного отображения, — Функц. анализ и его прил., 1:3 (1967), стр. 54–65.
• Арнольд В. И. Замечание о подготовительной теореме Вейерштрасса, — Функц. анализ и его прил., 1:3 (1967), стр. 1–8.

Примечания

1. ↑ Weierstrass K. Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze. — Mathematische Werke, V. II, Mayer und Müller, Berlin, 1895, 135–188.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Проставить интервики в рамках проекта Интервики.