Формула произведения корангов

Формула произведения корангов

Формула произведения корангов — математическая формула, выражающая коразмерность множества точек, в которых ядро производной отображения имеет заданную размерность, в виде произведения корангов данного отображения в прообразе и образе.

Содержание

Точная формулировка

Корангом линейного отображения A: \mathbb R^m \to \mathbb R^n в прообразе (в образе) называется число m-r (соответственно, n-r), где r — ранг отображения A. Коранги связаны с размерностью ядра A формулами: m-r=i и n-r = n-m+i.

Пусть f: M^m \to N^n — гладкое отображение гладких многообразий M^m и N^n размерностей m и n, соответственно. Символом f_{*x} обозначается его производная в точке x \in M^m, то есть линейное отображение касательных пространств f_{*x}: T_{x}M^m \to T_{f(x)}N^n. Точка x \in M^m принадлежит множеству \Sigma^i,\, i \ge 0, если размерность ядра производной f_{*x} в этой точке равна i. Множества \Sigma^0, \ldots, \Sigma^m заведомо покрывают всё многообразие M^m, однако, как правило, в этой цепочке не все множества являются непустыми (например, в случае n>m имеет место неравенство r \le n<m, из которого с учетом соотношения m-r=i следует, что i>0, то есть множество \Sigma^0 пусто).

Теорема

Для отображения f: M^m \to N^n общего положения все множества \Sigma^i являются гладкими подмногообразиями в M^m. При этом имеет место соотношение m - \dim \, \Sigma^i = (m-r)(n-r), где r=m-i — ранг отображения f_{*x}, называемое формулой произведения корангов.

Вычисленное по этой формуле значение \dim \Sigma^i может быть отрицательным. Это означает, что соответствующее множество \Sigma^i пусто.

Следствие

В пространстве матриц типа (m, n) множество матриц ранга r образует гладкое многообразие коразмерности (m-r)(n-r).

Литература

  • Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Формула произведения корангов" в других словарях:

  • Теория катастроф — У этого термина существуют и другие значения, см. Теория катастроф (значения). Теория катастроф  раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких… …   Википедия

  • Теория катастроф (математика) — Теория катастроф раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений. Термины «катастрофа» и «теория катастроф» были введены Рене Томом (René Thom) и… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»