Кольцо Эрмана

Кольцо Эрмана — в голоморфной динамике, один из типов неподвижной или периодической компоненты связности области Фату. Такая компонента связности топологически эквивалентна кольцу, а динамика отображения (или его итерации первого возвращения, в случае периодической компоненты) должна быть сопряжена иррациональному повороту этого кольца.

Конструкция

Множество Жюлиа для рационального отображения, имеющего кольца Эрмана

Одним из способов построения отображения, одна из компонент множества Фату которого оказывается кольцом Эрмана, основан на рассмотрении произведений Бляшке. А именно, произведения Бляшке — отображения вида

$f(z)=\lambda \prod_{j=1}^n \frac{z-a_j}{1-\bar{a_j}z}, \quad |\lambda|=1, \quad |a_j|\neq 1, \,$

сохраняют единичную окружность $\{|z|=1\}$, и сохраняют ориентацию на ней тогда и только тогда, когда вне единичного диска имеется чётное число точек $a_j$.

Подбором точек $a_j$ можно добиться, чтобы ограничение отображения f на эту окружность было диффеоморфизмом с диофантовым числом вращения. Теорема Эрмана-Йоккоза утверждает в таком случае, что f аналитически сопряжено соответствующему повороту. Такое локальное сопряжение далее распространяется до границы содержащей единичную окружность компоненты Фату — оказывающейся, тем самым, кольцом Эрмана.

Примером реализации такой конструкции может служить рациональное отображение степени 3,

$f(z) = e^{2 \pi i t}\cdot \frac{z^2(z - 4)}{1 - 4z},$

где константа $t=0.6151732\dots$ выбирается так, чтобы число вращения ограничения f на единичную окружность равнялось бы $(\sqrt{5}-1)/2$.

Литература

• Милнор, Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции. = Dynamics in One Complex Variable. Introductory Lectures. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — С. 189—194. — 320 с. — ISBN 5-93972-006-4