Интервальная арифметика

Интервальная арифметика — математическая структура, которая для вещественных интервалов определяет операции, аналогичные обычным арифметическим. Эту область математики называют также интервальным анализом или интервальными вычислениями. Данная математическая модель удобна для исследования различных прикладных объектов:

• Величины, значения которых известны только приближённо, то есть определён конечный интервал, в котором эти значения содержатся.
• Величины, значения которых в ходе вычислений искажены ошибками округления.
• Случайные величины.

Объекты и операции интервальной арифметики можно рассматривать как обобщение модели вещественных чисел, поэтому интервалы в ряде источников называются интервальными числами. Практическая важность этой модели связана с тем, что результаты измерений и вычислений почти всегда имеет некоторую погрешность, которую необходимо учесть и оценить.

Операции над интервалами

Мы будем рассматривать всевозможные конечные вещественные интервалы $[a,b]\ (a \leqslant b)$. Операции над ними определяются следующим образом:

• Сложение: [a,b] + [c,d] = [a + c, b + d]
• Вычитание: [a,b] − [c,d] = [a − d, b − c]
• Умножение: [a,b] × [c,d] = [min (ac, ad, bc, bd), max (ac, ad, bc, bd)]
• Деление: [a,b] / [c,d] = [min (a/c, a/d, b/c, b/d), max (a/c, a/d, b/c, b/d)]

Из определения видно, что интервал-сумма содержит всевозможные суммы чисел из интервалов-слагаемых и определяет границы множества таких сумм. Аналогично трактуются прочие действия. Отметим, что операция деления определена только в том случае, когда интервал-делитель не содержит нуля.

Вырожденные интервалы, у которых начало и конец совпадают, можно отождествить с обычными вещественными числами. Для них данные выше определения совпадают с классическими арифметическими действиями.

Свойства операций

Сложение и умножение интервалов коммутативны и ассоциативны. Дистрибутивное свойство имеет место в ослабленном виде:

$X ( Y + Z ) \subset XY + XZ$

Литература

• Алефельд Г., Херцбергер Ю.. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987. 356 с.
• Добронец Б. С. Интервальная математика. Красноярск: Издательство КГУ, 2004.
• Шарый С. П. Конечномерный интервальный анализ. М.: 2007.
• Шокин Ю. И. Интервальный анализ. Новосибирск: Сибирское отделение изд-ва «Наука», 1981.

Ссылки

• Интервальный анализ и его приложения.
• Интервальная арифметика.