Диофантовы и лиувиллевы числа

В математике, иррациональное число x называется диофантовым^{[источник не указан 305 дней]}, если при его приближении рациональным числом ошибка составляет не менее некоторой степени знаменателя:

$\exists C, \alpha>0: \quad \forall p\in \Z, q\in\N \quad \left|x-\frac{p}{q} \right| \ge \frac{C}{q^{\alpha}}.$

В противном случае, число $x$ называют лиувиллевым.

Свойства

Всякое алгебраическое иррациональное число диофантово. В частности, тем самым, любое лиувиллево число трансцендентно, что позволяет явно строить трансцендентные числа как суммы сверхбыстро сходящихся рядов рациональных чисел.
Диофантовы числа метрически типичны: их множество имеет полную меру Лебега.
Напротив, лиувиллевы числа типичны с топологической точки зрения: их множество остаточно.

Для улучшения этой статьи желательно^?:

Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Категории:

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Диофантово приближение — Диофантовы приближения часть теории чисел, изучающая приближения действительных чисел рациональными числами, или, при более широком понимании предмета, вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств или систем … Википедия
Иррациональное число — Иррациональное число это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби , где целые числа, . Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической… … Википедия