Гипотеза Зейферта

Гипотеза Зейферта в теории динамических систем утверждала, что у векторного поля без особых точек на трёхмерной сфере найдётся периодическая траектория.

В своей работе 1950 года Герберт Зейферт доказал^[1], что периодическими траекториями обладают $C^1$-гладкие векторные поля, близкие к единичному касательному полю к расслоению Хопфа; это утверждение получило название теоремы Зейферта. Там же он задал вопрос о том, у любого ли неособого поля на трёхмерной сфере (пусть даже далёкого от поля Хопфа) найдётся такая траектория. Долгое время считалось^[2], что ответ на этот вопрос будет положительным (и эта формулировка получила имя «гипотезы Зейферта»), пока в 1974 году Швейцером не был построен $C^1$-гладкий контрпример^[3] (основанный на тех же идеях, что и пример Данжуа).

Дженни Харрисон в 1988 г. ^[4] модифицировала конструкцию Швейцера, добившись гладкости $C^{2+\delta}$, однако её техника не позволяла^[2] достичь гладкости $C^3$. Существование более гладких контрпримеров оставалось неизвестным до 1993 года, когда Кристина Куперберг, используя технику ловушек, не построила $C^{\infty}$-гладкий контрпример (пример Куперберг)^[5].

Примечания

1. ↑ H. Seifert, Closed integral curves in 3-space and isotopic two-dimensional deformations, Proc. Amer. Math. Soc. 1, (1950). 287--302.
2. ↑ ^{1 2} K. Kuperberg, Aperiodic dynamical systems. Notices Amer. Math. Soc. 46 (1999), no. 9, 1035--1040.
3. ↑ P. A. Schweitzer, Counterexamples to the Seifert conjecture and opening closed leaves of foliations, Ann. of Math. (2) 100 (1974), 386--400.
4. ↑ J. Harrison, $C^2$ counterexamples to the Seifert conjecture, Topology 27 (1988), no. 3, 249--278.
5. ↑ K. Kuperberg A smooth counterexample to the Seifert conjecture, Ann. of Math. (2) 140 (1994), no. 3, 723--732.

Внешние ссылки

• Weisstein, Eric W. Seifert Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• V. Ginzburg and B. Gürel, A $C^2$-smooth counterexample to the Hamiltonian Seifert conjecture in $R^4$, Ann. of Math. (2) 158 (2003), no. 3, 953--976
• G. Kuperberg A volume-preserving counterexample to the Seifert conjecture, Comment. Math. Helv. 71 (1996), no. 1, 70--97.
• G. Kuperberg and K. Kuperberg, Generalized counterexamples to the Seifert conjecture, Ann. of Math. (2) 143 (1996), no. 3, 547--576.