Пустое множество

Обозначение пустого множества

Пусто́е мно́жество (в математике) — множество, не содержащее ни одного элемента. Из аксиомы объёмности следует, что есть только одно множество, обладающее таким свойством. Пустое множество является своим (тривиальным) подмножеством, но не является своим элементом.

Пустое множество является конечным множеством и имеет наименьшую мощность среди всех множеств. Пустое множество — единственное множество, для которого класс множеств, равномощных ему, состоит из единственного элемента (самого́ пустого множества). Также, пустое множество — единственное множество, имеющее ровно 1 подмножество (само себя), и единственное множество, равномощное любому своему подмножеству.

Пустое множество тривиальным образом является разрешимым (а значит, перечислимым и арифметическим), транзитивным (англ.) и вполне упорядоченным множеством (для любого отношения порядка). Пустое множество является наименьшим порядковым числом и наименьшим кардинальным числом. В топологии, пустое множество является одновременно замкнутым и открытым множеством.

$\in$-цепочка, начинающаяся с произвольного множества, каждый последующий член которой является элементом предыдущего, всегда через конечное число шагов завершается пустым множеством (см. аксиому регулярности). Таким образом, пустое множество является «строительным кирпичиком», из которого строятся все остальные множества.

В некоторых формулировках теории множеств существование пустого множества постулируется (см. аксиому пустого множества), в других — доказывается.

Обозначения пустого множества

Обычно пустое множество обозначают одним из следующих символов: $~ \varnothing$, $~ \emptyset$ и $~ \{\}$.

Реже пустое множество обозначают одним из следующих символов: $~ 0$ и $~ \Lambda$.

В Юникоде имеется специальный символ «пустое множество» (U+2205,∅).

Символы $~ \varnothing$ и $~ \emptyset$ введены в употребление группой Бурбаки (в частности, Андре Вейлем) в 1939 году.

Символ $~ \varnothing$ идентичен букве Ø в Датско-норвежском алфавите^[1].

Свойства пустого множества

• Ни одно множество не является элементом пустого множества. Иначе говоря, $~ \forall a \ (a \notin \varnothing)$ и, в частности, $~ \varnothing \notin \varnothing$.
• Пустое множество является подмножеством любого множества. Иначе говоря, $~ \forall a \ (\varnothing \subseteq a)$ и, в частности, $~ \varnothing \subseteq \varnothing$.
• Объединение пустого множества с любым множеством равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря,$~ \forall a \ (\varnothing \cup a = a)$ и, в частности, $~ \varnothing \cup \varnothing = \varnothing$.
• Пересечение пустого множества с любым множеством равно пустому множеству. Иначе говоря, $~ \forall a \ (\varnothing \cap a = \varnothing)$ и, в частности, $~ \varnothing \cap \varnothing = \varnothing$.
• Исключение пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, $~ \forall a \ (a \setminus \varnothing = a)$ и, в частности, $~ \varnothing \setminus \varnothing = \varnothing$.
• Исключение любого множества из пустого множества равно пустому множеству. Иначе говоря, $~ \forall a \ (\varnothing \setminus a = \varnothing)$ и, в частности, $~ \varnothing \setminus \varnothing = \varnothing$.
• Симметрическая разность пустого множества с любым множеством равна последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, $~ \forall a \ (\varnothing \triangle a = a \ \land \ a \triangle \varnothing = a)$ и, в частности, $~ \varnothing \triangle \varnothing = \varnothing$
• Декартово произведение пустого множества на любое множество равно пустому множеству. Иначе говоря, $~ \forall a \ (\varnothing \times a = \varnothing \ \land \ a \times \varnothing = \varnothing)$ и, в частности, $~ \varnothing \times \varnothing = \varnothing$.
• Пустое множество — транзитивно. Иначе говоря, $~ \mathrm{Trans}(\varnothing)$, где $~ \mathrm{Trans}(\varnothing) \Leftrightarrow \forall b \ (b \in \varnothing \to b \subseteq \varnothing)$.
• Пустое множество — ординал. Иначе говоря, $~ \mathrm{Ord}(\varnothing)$, где $~ \mathrm{Ord}(\varnothing) \Leftrightarrow \mathrm{Trans}(\varnothing) \ \land \ \forall b \ (b \in \varnothing \to \mathrm{Trans}(b) \ )$.
• Мощность пустого множества равна нулю. Иначе говоря, $~ |\varnothing| = 0$.
• Мера пустого множества равна нулю. Иначе говоря, $~ \mu(\varnothing) = 0$

См. также

• Аксиома пустого множества

• Аксиоматика теории множеств

Ссылки

1. ↑ Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic  (англ.). — История появления символов теории множеств и логики. Архивировано из первоисточника 22 августа 2011. Проверено 28 сентября 2010.