- Ряд Фарея
-
Ряды Фарея (также дроби Фарея, последовательность Фарея или таблица Фарея) — семейство конечных подмножеств рациональных чисел.
Содержание
Определение
Последовательность Фарея -ного порядка представляет собой возрастающий ряд всех несократимых дробей, знаменатель которых меньше или равен :
Последовательность Фарея порядка можно построить из последовательности порядка по следующему правилу:
- Копируем все элементы последовательности порядка .
- Если сумма знаменателей в двух соседних дробях последовательности порядка дает число не большее, чем , вставляем между этими дробями их медианту, равную отношению суммы их числителей к сумме знаменателей.
Пример
Последовательности Фарея для от 1 до 8:
Свойства
Если — две соседние дроби в ряде Фарея, тогда .
Доказательство. Заметим, что треугольник на плоскости с вершинами , и не может содержать целых точек, отличных от вершин. Иначе, если целая точка содержится в , то дробь лежит между и , а знаменатель не превосходит . Значит, по формуле Пика, его площадь равна . С другой стороны, площадь равна . Ч. т. д.
Справедливо и обратное утверждение: если дроби таковы, что , то они представляют собой соседние члены ряда Фарея .
История
Джон Фарей (John Farey) — известный геолог, один из пионеров геофизики. Его единственным вкладом в математику были дроби, названные его именем. В 1816 году была опубликована статья Фарея «On a curious property of vulgar fractions» («Об интересном свойстве обыкновенных дробей»), в которой Фарей определил последовательность . Эта статья Фарея дошла до Коши, который в том же году опубликовал доказательство. Интересен тот факт, что последовательность, описанная Фареем в 1816 году, была использована Харосом в его статье 1802 года о приближении десятичных дробей обыкновенными дробями.
См. также
Ссылки
- Кноп К. Недвоичная система // Домашний компьютер. — 2001. — № 8.
- Weisstein, Eric W. Farey Sequence (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Числители и знаменатели рядов Фарея: последовательность A006842 в OEIS и последовательность A006843 в OEIS.
Категория:- Теория чисел
Wikimedia Foundation. 2010.