Линейная алгебра

Эта статья в данный момент активно редактируется участником Zanka. Пожалуйста, не вносите в неё никаких изменений до тех пор, пока не исчезнет это объявление. В противном случае могут возникнуть конфликты редактирования. Данное предупреждение установлено 26 декабря 2012 и не должно держать статью более двух суток. Для указания даты установки предупреждения используйте конструкцию {{subst:L}}.

Лине́йная а́лгебра — часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. Векторные пространства встречаются в математике и её приложениях повсеместно. Линейная алгебра широко используется в абстрактной алгебре и функциональном анализе и находит многочисленные приложения в естественных науках.

Предмет линейной алгебры

К линейной алгебре относят^[1]:

• теорию линейных уравнений
• теорию определителей
• теорию матриц
• теорию векторных пространств и линейных преобрахований в них
• теорию форм (например, квадратичных)
• теорию инвариантов (частично)
• тензорное исчисление (частично)

Переход от используемых в линейной алгебре n-мерных векторных пространств к бесконечномерным линейныс пространствам нашёл своё отражение в некоторых разделах функционального анализа^[1].

Исторический очерк

Исторически первым вопросом линейной алгебры был вопрос о линейных уравнениях. Линейные уравнения, как уравнения прямых и плоскостей, стали естественным предметом изучения после изобретения Декартом и Ферма метода координат (около 1636)^{[источник?]}.

Построение теории систем таких уравнений потребовало таких инструментов, как теория матриц и определителей^[1]. В 1750 году для решения систем линейных уравнений было предложено правило Крамера (число уравнений равно числу неизвестных и определитель от коэффициентов не равен нулю), а в 1849 году — метод Гаусса^[2].

Гамильтон в своей работе 1833 представлял комплексные числа в виде, как мы бы сейчас сказали, двумерного вещественного векторного пространства, ему принадлежит открытие кватернионов, а также авторство термина «вектор». Теория матриц была разработана в трудах Кэли (1850-е). Системы линейных уравнений в матрично-векторном виде впервые появились, по-видимому, в работах Лагерра (1867). Грассман в работах 1844 и 1862 года изучает то, что мы теперь назвали бы алгебрами, и его формальное изложение по существу является первой аксиоматической теорией алгебраических систем. В явном виде аксиомы линейного пространства сформулированы в работе Пеано (1888)^{[источник?]}.

См. также

• Аналитическая геометрия

Примечания

1. ↑ ^{1 2 3} Линейная алгебра. Большая советская энциклопедия. Проверено 20 декабря 2012.
2. ↑ Виноградов И. М. Линейная алгебра // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977.

Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру, Ч. 2: Линейная алгебра. М.: МЦНМО, 2009.
• В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.
• В. А. Ильин, Г. Д. Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия, М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007, 400с.
• Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
• Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры.-М.:Наука 1983, 336с.
• Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных.-Л.:ЛГУ 1985, 496с.
• Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 248 с.
• Сандаков Е. Б. Основы аналитической геометрии и линейной алгебры: учебное пособие.-М.:МИФИ, 2005.-308с.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.-М.: Наука 1966, 576с.
• Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
• Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия.-М.:Наука 1969, 528с.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия.-СПб.: Лань 2005, 304с.
• Курош А. Г. Курс высшей алгебры.-М.:Наука 1968, 331с.
• Ланкастер П. Теория матриц.-М.:Наука 1973, 280с.
• Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре.-М.:Наука 1966, 384с.
• Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения.-М.:Мир 1980, 454с.
• Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры.- 356с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства.-М.:Физматгиз 1963, 264с.
• Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson). Матричный анализ. — М.: Мир, 1989, 655 с., ил. (ISBN 5-03-001042-4).
• Шилов Г. Е. Математический анализ (Конечномерные линейные пространства).- 264с.
• Тыртышников Е. Е. Матричный анализ и линейная алгебра. Курс лекций для студентов факультета ВМК, МГУ.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Шарипов Р. А., Курс линейной алгебры и многомерной геометрии, — БашГУ, Уфа, 1996.

Разделы математики

 

Портал «Наука»

Алгебра   Элементарная алгебра  • Линейная алгебра (Полилинейная алгебра)  • Абстрактная алгебра Абстрактная алгебра Коммутативная алгебра  • Теория представлений  • Дифференциальная алгебра  • Гомологическая алгебра  • Универсальная алгебра  • Теория категорий

Математический анализ   Вариационное исчисление  • Комплексный анализ  • Теория меры  • Функциональный анализ  • Гармонический анализ  • Нестандартный анализ

Геометрия и топология   Геометрия Алгебраическая геометрия  • Аналитическая геометрия  • Евклидова геометрия  • Неевклидова геометрия  • Планиметрия  • Стереометрия  • Тригонометрия Топология Общая топология  • Алгебраическая топология Смежные направления Дифференциальная геометрия и топология  • Геометрическая топология

Дискретная математика   Комбинаторика  • Теория графов  • Теория множеств  • Булева алгебра

Прикладная математика   Математическая физика  • Математическая химия  • Математическая статистика  • Математическое моделирование  • Теория алгоритмов  • Численные методы  • Математическая экономика, Финансовая математика  • Теория вероятностей  • Исследование операций

Математическая логика (алгебра логики)  • Теория чисел (арифметика)

Портал «Математика» | Категория «Математика»