Формула Ито

Формула Ито — формула замены переменной в стохастическом дифференциальном уравнении. Автор формулы Ито Киёси — японский математик-статистик.

Определение

Дан случайный процесс $X=(X_t)_{t\ge0}$, заданный на фильтрованном вероятностном пространстве $\left(\Omega, \mathfrak{F}, (\mathfrak{F}_t)_{t\ge0}, P \right)$ с потоком $(\mathfrak{F}_t)_{t\ge0}$.

Пусть дано стохастическое дифференциальное уравнение

$X_t=X_0+\int\limits_0^ta(s,\omega)ds+\int\limits_o^tb(s,\omega)dB_s$,

где $B=\left(B_t, \mathfrak{F}_t\right)_{t\ge0}$ — броуновское движение.

Пусть теперь $\;F(t,x)$ — заданная на $\R_+ \times \R$ непрерывная функция из класса $C^{1,2}$, т.е. имеющая производные $\frac{\partial F}{\partial t}$, $\frac{\partial F}{\partial x}$, $\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}$.

При этих предположениях:

$dF(t, X_t) = \left[ \frac{\partial F}{\partial t} +a(t,\omega)\frac{\partial F}{\partial x}+ \frac12b^2(t,\omega) \frac{\partial^2F}{\partial x^2} \right] dt +\frac{\partial F}{\partial x}b(t,\omega)dB_t$

Говоря более строго, при каждом $t>0$ для $F(t,X_t)$ справедлива следующая формула Ито:

$F(t, X_t) = F(0,X_0) + \int\limits_0^t\left[ \frac{\partial F}{\partial s} +a(s,\omega)\frac{\partial F}{\partial x}+\frac12b^2(s,\omega)\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \right] ds +\int\limits_0^t\frac{\partial F}{\partial x}b(s,\omega)dB_s$

Многомерное обобщение

Ссылки

• Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения