Теорема Вейерштрасса о функции на компакте


Теорема Вейерштрасса о функции на компакте

Теоре́ма Вейерштра́сса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани.

Содержание

Формулировка

Пусть дана непрерывная числовая функция, определённая на отрезке, то есть f\colon[a,\;b]\to\R и f\in C\bigl([a,\;b]\bigr). Пусть

M=\sup\limits_{x\in[a,\;b]}f(x),\quad m=\inf\limits_{x\in[a,\;b]}f(x)

— точные верхняя и нижняя грани множества значений функции f соответственно. Тогда эти значения конечны (-\infty<m\leqslant M<\infty) и достигаются (существуют x_m,\;x_M\in[a,\;b] такие, что f(x_m)=m,\;f(x_M)=M).

Доказательство

Доказательство для R

Пусть f(x) — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте A), M = \sup_A f. Возьмём последовательность чисел a_m таких, что \lim a_m = M и a_m < M. Для каждого m найдётся точка x_m, такая что a_m < f(x_m). Имеем дело с компактом, поэтому, согласно теореме Больцано — Вейерштрасса из последовательности x_m можно выделить сходящуюся последовательность \{x_{m_k}\}, предел которой лежит в A.

Для любого x_m справедливо a_m < f(x_{m_k}) < M, поэтому, применяя предельный переход, получаем \lim f(x_{m_k}) = M и в силу непрерывности функции существует точка x_0 такая, что \lim f(x_{m_k}) = f(x_0) и, следовательно M = f(x_0).

Таким образом функция f(x) ограничена и достигает своей верхней грани при x = x_0. Аналогично и для нижней грани.


Замечания

непрерывна в каждой точке области определения, но не ограничена.

  • Иногда (в учебных курсах) два утверждения (об ограниченности и достижимости границ) разделяются на две теоремы Вейерштрасса - первую и вторую соответственно[1].

Обобщения

Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функций

  • Пусть функция f\colon[a,\;b]\to\R полунепрерывна сверху. Тогда
    M=\sup\limits_{x\in[a,\;b]}f(x)<+\infty и \exists x_M\in[a,\;b]\colon f(x_M)=M.
  • Пусть функция f\colon[a,\;b]\to\R полунепрерывна снизу. Тогда
    m=\inf\limits_{x\in[a,\;b]}f(x)>-\infty и \exists x_m\in[a,\;b]\colon f(x_m)=m.

Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций на компакте

Пусть дано топологическое пространство (X,\;\mathcal{T}) и компактное подмножество K\subset X. Пусть дана непрерывная функция f\colon K\to\R,\;f\in C(K). Тогда

-\infty<m\equiv\inf\limits_{x\in K}f(x)\leqslant M\equiv\sup\limits_{x\in K}f(x)<+\infty

и

\exists x_m,\;x_M\in K\colon f(x_m)=m,\;f(x_M)=M.

См. также

Примечания


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Теорема Вейерштрасса о функции на компакте" в других словарях:

  • Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте — Теорема Вейерштрасса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компактe, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани. Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство для R 3 Замечания …   Википедия

  • Теорема Вейерштрасса — В математике существует несколько теорем, названных в честь Карла Вейерштрасса: Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности  Всякая ограниченная монотонно… …   Википедия

  • Теорема о свойстве Дарбу для непрерывной функции — Теорема о свойстве Дарбу (Д свойстве) для непрерывной функции в математическом анализе утверждает, что непрерывный образ отрезка есть отрезок. Содержание 1 Формулировка 2 Замечания …   Википедия

  • Теорема Асколи — Арцела — Теорема Арцела  утверждение, которое представляет собой критерий предкомпактности множества в полном метрическом пространстве в том специальном случае, когда рассматриваемое пространство  пространство непрерывных функций на отрезке… …   Википедия

  • Теорема Асколи — Теорема Арцела  утверждение, которое представляет собой критерий предкомпактности множества в полном метрическом пространстве в том специальном случае, когда рассматриваемое пространство  пространство непрерывных функций на отрезке… …   Википедия

  • Непрерывные функции — Непрерывное отображение или непрерывная функция это такое отображение, у которого небольшие изменения аргумента приводят к небольшим изменениям значения отображения. Это понятие определятся немного по разному в различных разделах математики;… …   Википедия

  • Вейерштрасс, Карл — Карл Вейерштрасс нем. Karl Theodor Wilhelm Weierstraß …   Википедия

  • Вейерштрасс, Карл Теодор Вильгельм — Карл Вейерштрасс Karl Weierstraß Имя при рождении: Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс Дата рождения: 31 октября …   Википедия

  • Вейерштрасс — Вейерштрасс, Карл Карл Вейерштрасс нем. Karl Theodor Wilhelm Weierstraß Дата рождения …   Википедия

  • Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм — Карл Вейерштрасс Karl Weierstraß Имя при рождении: Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс Дата рождения: 31 октября …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.