Структура (дифференциальная геометрия)


Структура (дифференциальная геометрия)

В дифференциальной геометрии структурой на многообразии, геометрической величиной или полем геометрических объектов называется сечение расслоения, ассоциированного с главным расслоением кореперов некоторого многообразия M. Интуитивно геометрическую величину можно рассматривать как величину, значение которой зависит не только от точки x многообразия M, но и от выбора корепepa, то есть от выбора инфинитезимальной системы координат в точке x (см. также Карта).

Содержание

Формальное определение структуры на многообразии

Для формального определения структур на многообразии рассмотрим GL^k(n) — общую дифференциальную группу порядка k (группу k-струй в нуле преобразований пространства \R^n, сохраняющих начало координат), M_k — многообразие кореперов порядка k n-мерного многообразия M (то есть многообразие k-струй j^k_x(u) локальных карт u:M\supset U\to\R^n с началом в точке x=u^{-1}(0)).

Группа GL^k(n) действует слева на многообразии M_k по формуле

j^k_0(\varphi)j^k_0(u)=j^k_x(\varphi\circ u),\quad j^k_0(\varphi)\in GL^k(n),\quad j^k_x(u)\in M_k.

Это действие определяет в M_k структуру главного GL^k(n)-расслоения \pi_k:M_k\to M, называемого расслоением кореперов порядка k.

Пусть теперь W — произвольное GL^k(n)-многообразие, то есть многообразие с левым действием группы GL^k(n), a W(M) — пространство орбит левого действия группы GL^k(n) в M_k\times W. Расслоение \pi_W:W(M)\to M, являющееся естественной проекцией пространства орбит на M и ассоциированное как с W, так и с M_k, называется расслоением геометрических структур типа W порядка не больше k, а его сечения — структурами типа W. Структуры такого типа находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с GL^k(n)-зквивариантными отображениями S:M_k\to W.

Таким образом, структуры типа W можно рассматривать как W-значную функцию S на многообразии M_k k-реперов, удовлетворяющую следующему условию эквивариантности:

S(gu^k)=gS(u^k),\quad g\in GL^k(n),\quad u^k\in M_k.

Расслоение геометрических объектов является естественным расслоением в том смысле, что группа диффеоморфизмов многообразия M действует как группа автоморфизмов \pi_W.

Если W есть векторное пространство с линейным (соответственно аффинным) действием группы GL^k(n), то структуры типа W называются линейными (соответственно аффинными).

Основными примерами линейных структур первого порядка являются тензорные структуры, или тензорные поля. Пусть V=\R^n, V^*=\mathrm{Hom}\,(V,\;\R) и V^p_g=((\otimes^p V))\otimes((\otimes^q V^*)) — пространство тензоров типа (p,\;q) с естественным тензорным представлением группы GL^1(n)=GL(n). Структура типа V^p_q называется тензорным полем типа (p,\;q). Ее можно рассматривать как вектор-функцию на многообразии кореперов M_1, сопоставляющую кореперу \theta=j^1_1(u)=(du^1,\;du^2,\;\ldots,\;du^n) набор координат S(\theta)^{i_1 i_2 \ldots i_p}_{j_1 j_2 \ldots j_q} тензора S(\theta)\in V^p_q относительно стандартного базиса

\{e_{i_1}\otimes e_{i_2}\otimes\ldots\otimes e_{i_p}\otimes e^{*j_1}\otimes e^{*j_2}\otimes\ldots\otimes e^{*j_q}\}

пространства V^p_q. При линейном преобразовании коронера \theta\to g\theta=(g^i_a\,du^a) координаты S^{i_1 i_2 \ldots i_p}_{j_1 j_2 \ldots j_p} преобразуются по тензорному представлению:

S^{i_1 i_2 \ldots i_p}_{j_1 j_2 \ldots j_q}(q\theta)=g^{i_1}_{a_1}g^{i_2}_{a_2}\ldots g^{i_p}_{a_p}(g^{-1})^{b_1}_{j_1}(g^{-1})^{b_2}_{j_2}\ldots (g^{-1})^{b_q}_{j_q}S(\theta)^{a_1 a_2 \ldots a_p}_{b_1 b_2 \ldots b_q}.

Важнейшими примерами тензорных структур являются:

Все линейные структуры (любых порядков) исчерпываются сверхтензорами Рашевского[1].

Примером аффинной структуры второго порядка служит аффинная связность без кручения, которую можно рассматривать как структуру типа V^1_{(2)}, где V^1_{(2)}\approx V\otimes S^2V^* — ядро естественного гомоморфизма GL^2(n)\to GL^1(n), которое можно рассматривать как векторное пространство с естественным действием группы GL^2(n)=GL(n)V^1_{(2)}.

Другим важным и добольно широким классом структур является класс инфинитезимально однородных структур, или -структур. Их можно определить как структуры типа W, где W=GL^k(n)/G — однородное пространство группы GL^k(n).

Для дальнейшего обобщения можно рассмотреть общие G-структуры — главные расслоения, гомоморфно отображающиеся на G-структуру, и сечения ассоциированных с ними расслоений. В этом случае можно рассматривать ряд важных общих геометрических структур, такие как спинорные структуры, симплектические спинорные структуры и др.

Литература

  1. Бурбаки, Н. Теория множеств / Пер. с франц. — М.: Мир, 1965. — 457 с.
  2. Веблен, О., Уайтхед, Дж. Основания дифференциальной геометрии. — М.: ИИЛ, 1949. — 230 с.
  3. Стернберг, С. Лекции по дифференциальной геометрии. — М.: Мир, 1970. — 413 с.
  4. Васильев, А. М. Теория дифференциально-геометрических структур. — М.: МГУ, 1987. — 190 с.
  5. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Труды геометрического семининара. — т. 1. — М.: ВИНИТИ, 1966, с. 139—189.

См. также

Примечания

  1. Рашевский П. К. Труды Московского математического общества. — 1957. — т. 6. — с. 337—370.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Структура (дифференциальная геометрия)" в других словарях:

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЙ — раздел дифференциальной геометрии, изучающий различные инфинитезималъные структуры на многообразии и их связи со структурой многообразия и его топологией. К середине 19 в. в результате возникновения неевклидовой геометрии Лобачевского,… …   Математическая энциклопедия

  • Связность (дифференциальная геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Связность. Связность  структура на гладком расслоении, состоящая в выборе «горизонтального направления» в каждой точке пространства расслоения. Точнее: Пусть дано гладкое расслоение ,… …   Википедия

  • Структура (значения) — Cтруктура (от лат. structūra  «строение»): Содержание 1 Основное значение 2 Другие значения (используются наряду с …   Википедия

  • Дифференциальная алгебра — Дифференциальными кольцами, полями и алгебрами называются кольца, поля и алгебры, снабжённые дифференцированием  унарной операцией, удовлетворяющей правилу произведения. Естественный пример дифференциального поля  поле рациональных… …   Википедия

  • Геометрия — (греч. geometria, от ge Земля и metreo мерю)         раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре.          Происхождение термина «Г. , что… …   Большая советская энциклопедия

  • Математическая структура — У этого термина существуют и другие значения, см. Структура (значения). Математическая структура название, объединяющее понятия, общей чертой которых является их применимость к множествам, природа которых не определена. Для определения самой… …   Википедия

  • СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА — инфинитезимальная структура1 го порядка на четномерном гладком ориентируемом многообразии М 2n, к рая определяется заданием на М 2п невырожденной 2 формы Ф. В каждом касательном пространстве Т х( М 2n). возникает структура симплектич.… …   Математическая энциклопедия

  • КОНТАКТНАЯ СТРУКТУРА — инфинитезимальная структура1 го порядка на гладком многообразии М 2п+1 нечетной размерности, к рая определяется заданием на М 2п+1 такой 1 формы а, что Здесь аназ. контактной формой на М 2п+1. К. с. существует только на ориентируемом M2n+1 и… …   Математическая энциклопедия

  • Контактная структура — Контактная структура  структура на гладком многообразии нечётной размерности , состоящая из гладкого поля касательных гиперплоскостей, удовлетворяющих формулируемому ниже условию невырожденности. Такая структура всегда существует на… …   Википедия

  • ПОЧТИ СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА — невырожденная дифференциальная 2 форма на многообразии. П. с. с. W может существовать только па четномерном многообразии М(dim M=2m).и определяет структуру , а именно главное расслоение реперов на Мсо структурной группой , состоящее из всех… …   Математическая энциклопедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.