Критерий Сильвестра


Критерий Сильвестра

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу

A=\left|\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix}\right|.

Тогда эта форма положительно определена, тогда и только тогда когда все её главные (угловые) миноры \Delta_i положительны. Форма отрицательно определена, если и только если знаки \Delta_i чередуются, причём \Delta_1<0. Здесь главными минорами матрицы A называются определители вида

\Delta_1=a_{11},\ \Delta_2=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}, ...,

\Delta_i=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1i} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2i} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ii}\end{vmatrix}, ...,

\Delta_n=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}.

Для неотрицательно определённых матриц критерий действует только в одну сторону: если форма неотрицательно определена, то главные миноры неотрицательны. Обратное неверно. Например, матрица

M=\left|\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}\right|

не является неотрицательно определённой — так как, например, (Mv,v)=-2 для v=(0,1,-1). В то же время все её главные миноры равны 0, то есть неотрицательны.

Содержание

Доказательство

Критерий положительной определённости квадратичной формы

Доказательство критерия Сильвестра основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Для положительной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры её матрицы были положительны.


1. «Необходимо.» Имеется положительно определённая квадратичная форма. j-ый диагональный элемент положителен, так как k(x)>0 в том числе и для вектора со всеми нулевыми координатами, кроме j-ой. При приведении матрицы к каноническому виду не будет нужно переставлять строки, и знаки главных миноров матрицы не изменятся. А в каноническом виде диагональные элементы положительны, и миноры положительны; следовательно, (так как их знак не менялся при преобразованиях), у положительно определённой квадратичной формы в любом базисе главные миноры матрицы положительны.

2. «Достаточно.» Имеется положительность миноров. Первый минор определяет знак первого диагонального элемента в каноническом виде. Знак отношения Mi+1/Mi определяет знак i+1-ого элемента в диагональном виде. Так получим, что в каноническом виде все элементы на диагонали положительные, то есть квадратичная форма определена положительно.[1]

Критерий отрицательной определённости квадратичной формы

Для отрицательной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры чётного порядка её матрицы были положительны, а нечётного порядка — отрицательны.


Доказательство сводится к предыдущему случаю, так как матрица A является отрицательно определённой тогда и только тогда, когда матрица -A является положительно определённой. При замене матрицы A на противоположную главные миноры нечётного порядка меняют знак, а главные миноры чётного порядка остаются такими же.

См. также

Источники

  1. Д. В. Беклемишев, Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Критерий Сильвестра" в других словарях:

  • Условие Сильвестра — Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой. Пусть квадратичная форма имеет в каком то базисе матрицу (aij). Тогда эта форма положительно определена, если и… …   Википедия

  • Сильвестр, Джеймс Джозеф — Джеймс Джозеф Сильвестр Джеймс Джозеф Сильвестр (англ. James Joseph Sylvester; 3 сентября 1814 …   Википедия

  • Джеймс Джозеф Сильвестр — (англ. James Joseph Sylvester, 3 сентября 1814, Лондон 15 марта, 1897, Оксфорд) английский математик. Известен своими работами в теории матриц, теории чисел и комбинаторике. Основатель Американского математического журнала …   Википедия

  • Джеймс Сильвестр — Джеймс Джозеф Сильвестр Джеймс Джозеф Сильвестр (англ. James Joseph Sylvester, 3 сентября 1814, Лондон 15 марта, 1897, Оксфорд) английский математик. Известен своими работами в теории матриц, теории чисел и комбинаторике. Основатель Американского …   Википедия

  • Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора. Содержание 1 Определение 2 Связанные определения …   Википедия

  • Гессиан функции — Гессиан функции  симметрическая квадратичная форма[источник?], описывающая поведение функции во втором порядке. Для функции , дважды дифференцируемой в точке или где …   Википедия

  • Положительно определённая матрица — В линейной алгебре, положительно определённая матрица  это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической двулинейной формой (или… …   Википедия

  • Отрицательно определённая матрица — В линейной алгебре, положительно определённая матрица это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической двулинейной формой (или… …   Википедия

  • Отрицательно полуопределённая матрица — В линейной алгебре, положительно определённая матрица это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической двулинейной формой (или… …   Википедия

  • Положительно полуопределённая матрица — В линейной алгебре, положительно определённая матрица это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической двулинейной формой (или… …   Википедия