Критерий Сильвестра

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу

$A=\left|\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix}\right|.$

Тогда эта форма положительно определена, тогда и только тогда когда все её главные (угловые) миноры $\Delta_i$ положительны. Форма отрицательно определена, если и только если знаки $\Delta_i$ чередуются, причём $\Delta_1<0$. Здесь главными минорами матрицы $A$ называются определители вида

$\Delta_1=a_{11},\ \Delta_2=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}, ...,$

$\Delta_i=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1i} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2i} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ii}\end{vmatrix}, ...,$

$\Delta_n=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}.$

Для неотрицательно определённых матриц критерий действует только в одну сторону: если форма неотрицательно определена, то главные миноры неотрицательны. Обратное неверно. Например, матрица

$M=\left|\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}\right|$

не является неотрицательно определённой — так как, например, $(Mv,v)=-2$ для $v=(0,1,-1)$. В то же время все её главные миноры равны 0, то есть неотрицательны.

Доказательство

Критерий положительной определённости квадратичной формы

Доказательство критерия Сильвестра основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Для положительной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры её матрицы были положительны.

1. «Необходимо.» Имеется положительно определённая квадратичная форма. j-ый диагональный элемент положителен, так как k(x)>0 в том числе и для вектора со всеми нулевыми координатами, кроме j-ой. При приведении матрицы к каноническому виду не будет нужно переставлять строки, и знаки главных миноров матрицы не изменятся. А в каноническом виде диагональные элементы положительны, и миноры положительны; следовательно, (так как их знак не менялся при преобразованиях), у положительно определённой квадратичной формы в любом базисе главные миноры матрицы положительны.

2. «Достаточно.» Имеется положительность миноров. Первый минор определяет знак первого диагонального элемента в каноническом виде. Знак отношения M_i+1/M_i определяет знак i+1-ого элемента в диагональном виде. Так получим, что в каноническом виде все элементы на диагонали положительные, то есть квадратичная форма определена положительно.^[1]

Критерий отрицательной определённости квадратичной формы

Для отрицательной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры чётного порядка её матрицы были положительны, а нечётного порядка — отрицательны.

Доказательство сводится к предыдущему случаю, так как матрица $A$ является отрицательно определённой тогда и только тогда, когда матрица $-A$ является положительно определённой. При замене матрицы $A$ на противоположную главные миноры нечётного порядка меняют знак, а главные миноры чётного порядка остаются такими же.

См. также

• Д. Сильвестр

Источники

1. ↑ Д. В. Беклемишев, Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2007.