Последовательный статистический критерий

Последовательный статистический критерий

Последовательный статистический критерий — последовательная статистическая процедура, используемая для проверки статистических гипотез в последовательном анализе.

Пусть наблюдению в статистическом эксперименте доступна случайная величина \displaystyle X с неизвестным (полностью или частично) распределением \mathbb P (формально, в математической нотации, X:\Omega\mapsto \mathbb R, где вероятностное пространство \Omega снабжено \sigma-алгеброй событий\mathcal F, и \displaystyle X измерима относительно Борелевской \sigma-алгебры).

Пусть проверяется нулевая гипотеза H_0:\, \mathbb P\in \mathcal P_0 против альтернативы H_1:\, \mathbb P\in \mathcal P_1.

На каждом этапе i\geq 1 статистического эксперимента, независимо от других этапов, наблюдается случайная величина \displaystyle X_i — копия \displaystyle X, до тех пор пока i\leq \nu, где \displaystyle\nu — некоторый (случайный) момент остановки. Последовательный статистический критерий — это пара (\nu,\delta), где \displaystyle \delta — любая функция от (X_1,\dots,X_\nu), принимающая значение 0 или 1 (решение, соответственно, в пользу нулевой H_0 или альтернативной H_1 гипотезы).

Этому определению может быть придан формальный смысл с помощью понятия момента остановки относительно последовательности \sigma-алгебр \mathcal F_n=\sigma(X_1,X_2,\dots X_n), порожденных случайными величинами X_1,X_2,\dots X_n,  n=1,2,\dots. Тогда решающая функция \displaystyle \delta должна быть измеримой относительно \sigma-алгебры \mathcal  F_\nu событий, предшествующих моменту \nu: \mathcal F_\nu=\{A\in \mathcal F:A\cap\{\nu\leq n\}\in\mathcal  F_n\}.

Функция мощности критерия (\nu,\delta) в "точке" \mathbb P определяется как \beta(\mathbb P;\nu,\delta)=\mathbb P(\delta=1). Если \mathbb P\in\mathcal P_0, то \beta(\mathbb P;\nu,\delta) называется вероятностью ошибки первого рода (вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, когда она верна). Если \mathbb P\in\mathcal P_1, то \mathbb P(\delta=0) называется вероятностью ошибки второго рода (вероятность принять нулевую гипотезу, когда она неверна).

Рандомизированные последовательные критерии

Рандомизированный последовательный критерий проверки гипотез может быть определен как пара \displaystyle(\psi,\phi), где \psi=(\psi_1,\psi_2,\dots,), \phi=(\phi_1,\phi_2,\dots,), и \psi_n=\psi_n(X_1,\dots,X_n), \phi_n=\phi_n(X_1,\dots,X_n) - (измеримые) функции, принимающие значения между 0 и 1, n=1,2,\dots. На каждом этапе n\geq 1 (если эксперимент до него дошел) \psi_n(X_1,\dots,X_n) интерпретируется как вероятность остановится на этом этапе, без проведения дальнейших наблюдений, а \phi_n(X_1,\dots,X_n) - как вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, если остановка на этом этапе произошла.

\psi=(\psi_1,\psi_2,\dots,) называется рандомизированным правилом остановки, а \phi=(\phi_1,\phi_2,\dots,) - рандомизированным правилом принятия решения.

Если все \displaystyle\psi_n принимают только значения 0 (продолжение наблюдений) и 1 (остановка), то правило остановки \displaystyle\psi определяет (нерандомизированный) момент остановки \nu=\min\{n:\psi_n(X_1,\dots,X_n)=1\}. Аналогично, если все \displaystyle\phi_n принимают только значения 0 (принятие нулевой гипотезы) и 1 (отвержение нулевой гипотезы), то правило принятия решения \displaystyle\phi определяет (нерандомизированную) решающую функцию: \displaystyle\delta=\phi_n, если \displaystyle\psi_n=1.

Функция мощности критерия (\psi,\phi) в "точке" \mathbb P определяется как \beta(\mathbb P;\psi,\phi)=\sum_{i=1}^\infty\mathbb E(1-\psi_1)\dots(1-\psi_{i-1})\psi_i\phi_i, где \mathbb E - математическое ожидание относительно \mathbb P. Если \mathbb P\in \mathcal P_0, то \beta(\mathbb P;\psi,\phi) - вероятность ошибки первого рода. Если \mathbb P\in \mathcal P_1, то вероятность ошибки второго рода равна \mathbb P(\nu<\infty)-\beta(\mathbb P;\psi,\phi), где \mathbb P(\nu<\infty)=\sum_{i=1}^\infty\mathbb E(1-\psi_1)\dots(1-\psi_{i-1})\psi_i. Соответственно, средний объем выборки при использовании правила остановки \psi определяется как E\nu=\sum_{i=1}^\infty i\mathbb E(1-\psi_1)\dots(1-\psi_{i-1})\psi_i, если \mathbb P(\nu<\infty)=1 (в противном случае E\nu=\infty).

Пример

Последовательный критерий отношения вероятностей (критерий Вальда)

Ссылки

  • Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. Оптимальные правила остановки — М.: Наука, 1976.
  • Ghosh, M., Mukhopadhyay, N., and Sen, P.K. Sequential Estimation, New York: Wiley, 1997.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "Последовательный статистический критерий" в других словарях:

  • Статистический последовательный анализ — Статистический последовательный анализ  раздел математической статистики, изучающий статистические методы, основанные на последовательной выборке, формируемой в ходе статистического эксперимента. Наблюдения производятся по одному (или, более …   Википедия

  • ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ — раздел математич. статистики, характерной чертой к рого является то, что число производимых наблюдений (момент остановки наблюдений) не фиксируется заранее, а выбирается по ходу наблюдений в зависимости от значений поступающих данных. Стимулом к… …   Математическая энциклопедия

  • Проверка статистических гипотез — Проверки статистических гипотез  один из классов задач в математической статистике. Содержание 1 Статистические гипотезы 1.1 Определения 1.2 Пример …   Википедия

  • ГОСТ Р 50779.10-2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения — Терминология ГОСТ Р 50779.10 2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения оригинал документа: 2.3. (генеральная) совокупность Множество всех рассматриваемых единиц. Примечание Для случайной величины… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • ГОСТ 15895-77: Статистические методы управления качеством продукции. Термины и определения — Терминология ГОСТ 15895 77: Статистические методы управления качеством продукции. Термины и определения оригинал документа: 2.30. k я порядковая статистика x(k) Определения термина из разных документов: k я порядковая статистика 2.44.… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • ГОСТ Р 50779.11-2000: Статистические методы. Статистическое управление качеством. Термины и определения — Терминология ГОСТ Р 50779.11 2000: Статистические методы. Статистическое управление качеством. Термины и определения оригинал документа: 3.4.3 (верхняя и нижняя) границы регулирования Граница на контрольной карте, выше которой верхняя граница,… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • РДМУ 109-77: Методические указания. Методика выбора и оптимизации контролируемых параметров технологических процессов — Терминология РДМУ 109 77: Методические указания. Методика выбора и оптимизации контролируемых параметров технологических процессов: 73. Адекватность модели Соответствие модели с экспериментальными данными по выбранному параметру оптимизации с… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Маркс — I (Marx)         Адольф Бернхардт (15.5.1795, Галле, 17.5.1866, Берлин), немецкий историк и теоретик музыки, педагог, композитор, доктор философии (1828). Изучал композицию у Д. Тюрка в Галле, с 1820 совершенствовался у К. Цельтера в Берлине. В… …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»