Цепь Понселе

Цепь Понселе: Пусть $f$ и $g$ — два конических сечения. Ломаная $A_1A_2\dots$ называется цепью Понселе для пары $f$, $g$, если каждая вершина $A_{i}A$лежит на $f$ и при этом (продолжения) рёбер $A_{i}A_{i+1}$ и $A_{i}A_{i-1}$ являются соответственно правой и левой касательной к $g$.

Свойства

Поризм Понселе

Если одна цепь Понселе пары $f$ и $g$ зацикливается за $n$ шагов (то есть $A_0=A_n$), то и любая цепь Понселе пары $f$ и $g$ зацикливается за $n$ шагов.

Теорема Кэли

Пусть $f$ — окружность $x^2+y^2=1$, а $g$ — эллипс $ax^2+by^2=1$. Тогда, условие на зацикливание цепи задаётся в терминах ряда Тейлора функции $\sqrt{(a^2+t)(b^2+t)(1+t)}=c_0+c_1t+c_2t^2+\dots$. (Каждый коэффициент $c_i$ вычисляется через $a$ и $b$, например, $c_0=ab$.) А именно, 1) Цепь Понселе пары $f$ и $g$ зацикливается за $2m+1$ шагов тогда и только тогда, когда $\begin{vmatrix} c_{2} & \dots & c_{m+1} \\ \vdots & & \vdots \\ c_{m+1} & \dots & c_{2m} \end{vmatrix} =0.$ 2) Цепь Понселе пары $f$ и $g$ зацикливается за $2m$ шагов тогда и только тогда, когда $\begin{vmatrix} c_{3} & \dots & c_{m+1} \\ \vdots & & \vdots \\ c_{m+1} & \dots & c_{2m} \end{vmatrix} =0.$

Теорема Шварца

Пусть $A_0A_1\dots$ — цепь Понселе. Обозначим через $\ell_i$ прямую $A_iA_{i+1}$ и рассмотрим точки пересечения $B_{i,j}=\ell_i\cap\ell_j$. Тогда для любого целого $k$, Все точки $B_{i,i+k}$ лежат на одном коническом сечении Все точки $B_{i,k-i}$ лежат на одном коническом сечении

См. также

• Поризм Штейнера

Ссылки

• Живой чертёж
• Марсель Берже Геометрия: Пер. с французского.- М.: Мир, 1984.-т.2 16.6 с. 140-148
• D. Fuchs, S. Tabachnikov, Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics