Узел (математика)

Узел (математика)

Содержание

Понятие математического узла

Узлы — предметы простые и наглядные. Вы, конечно, встречались с ними в повседневной жизни, но, может быть, не подозревали, что это ещё и математические объекты; более того, в последние 20 лет математики и физики с огромным интересом и удивительной интенсивностью стали заниматься соответствующими теориями, особенно теорией узлов. Достаточно сказать, что за это время четыре медали Филдса были получены именно за работы, связанные с этой теорией. А именно, лауреатами медали Филдса в разное время стали Владимир Дринфельд из Харькова, работающий в Чикаго, Максим Концевич из Москвы, работающий в Париже, Воган Джонс из Новой Зеландии, работающий в Калифорнии, и Эдвард Виттен, физик-теоретик, работающий в Принстоне.

Example of Knots.jpg

Чем отличается математический узел от узлов, которые завязывают на галстуках или на шнурках ботинок? Естественно, в математике узел — это некая абстракция: рассматривается не верёвка и не шнур, а бесконечно тонкая, гибкая и растяжимая нить. Кроме того, рассматривая математический узел, нужно либо как-то зафиксировать его концы (обычно говорят, что один конец уходит в бесконечность «вверх», а другой — в бесконечность «вниз», либо просто соединить их (см. рис.). В последнем случае модель узла — замкнутая несамопересекающаяся кривая в пространстве. Будем предполагать, что эта кривая является ломаной, то есть состоит из отрезков (впрочем, на рисунках мы почти всегда будем изображать узлы в виде гладких кривых, считая отдельные звенья ломаной. Самый простой узел — тривиальный (простая окружность). Узел называется нетривиальным, если он не эквивалентен тривиальному, то есть его нельзя «пошевелить» (возможно растягивая, но не разрывая верёвку) так, чтобы он превратился в тривиальный.

Трилистник и восьмёрка

Вот несколько примеров нетривиальных узлов: узел на рис. слева называется трилистником, узел на рис. справа — восьмёркой. (Обычно узлы рассматривают с ориентацией, то есть считают, что задано направление обхода кривой, это направление изображается стрелкой.)

Группа узлов

Knot's multiplication 2.jpg

Если считать узлы кривыми, концы которых уходят в бесконечность, то умножение узлов определяется естественным образом: произведение узлов а и b — это просто нить, на которой завязан сначала узел а, затем узел b (рис. справа). Это умножение ассоциативно: для любых узлов а, b и с верно равенство: (ab)c=a(bc). Ясно, что тривиальный узел (то есть просто вертикальная прямая) является единичным элементом. Ни один нетривиальный узел не имеет обратного. Покажем, что два узла, завязанные на одной веревке, можно переставить. Действительно, пусть на нити завязан сначала узел a, затем узел b. Сперва, не трогая узел a, «затянем» узел b в маленький узелок. Потом заключим этот узелок в маленький стеклянный шарик и будем двигать его вверх по нити. В итоге этот шарик окажется наверху, и его можно превратить опять в узел b. Таким образом, умножние узлов коммутативно: ab=ba.
Итак, верна

Теорема об узлах.  Узлы образуют ассоциативную и коммутативную систему относительно умножения.

 В этой системе есть единичный элемент, но нет обратных.

Компьютер развязывает узлы

Первый шаг в этой теории состоит в сведении (сложной) пространственной задачи развязывания узла к (более простой) задаче применения простых операций к кривым на плоскости. Эти операции придумал в 1920-е годы немецкий математик Рейдемейстер.
Имеет место

Лемма Рейдемейстера.  Если узел можно развязать (превратить в окружность) в пространстве, то его плоскую диаграмму можно распутать на плоскости с помощью операций Рейдемейстера.

Некоторые типы узлов

Ссылки

  • Атья М. Геометрия и физика узлов. — М.: Мир, 1995. — 192 с.
  • Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов. — М.: Мир, 1967. — 348 с.
  • Сосинский А. Б. Узлы и косы. — М.: МЦНМО, 2001. — 24 с.
  • The Knot Atlas — вики-проект об узлах.



Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Узел (математика)" в других словарях:

  • Узел (значения) — Узел: Узел  соединение и переплетение линейных материалов. «Гордиев узел»  крылатая фраза. Содержание 1 Коммуникации 2 Наука и техника …   Википедия

  • Математика инков — Кипукамайок из книги Гуамана Пома де Айяла «Первая Новая Хроника и Доброе Правление». Слева у ног кипукамайока  юпана, содержащая вычисления священного числа для песни «Сумак Ньюста» (в оригинале рукописи рисунок не цветной, а чёрно белый;… …   Википедия

  • Амфихиральный узел — В математической теории узлов амфихиральный узел (также называемый ахиральным или амфихайральным)  это ориентированный узел, эквивалентный своему зеркальному отражению. Амфихиральный узел можно также определить как ориентированный узел,… …   Википедия

  • Хиральность (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Хиральность (значения). В геометрии фигуру называют хиральной (и говорят, что она обладает хиральностью), если она не совпадает со своим зеркальным отображением, точнее, не может быть совмещена с… …   Википедия

  • E8 (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. E8. Группа (математика) Теория групп …   Википедия

  • Область (математика) — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш …   Википедия

  • Великобритания (государство) — Великобритания (Great Britain); официальное название ‒ Соединённое Королевство Великобритании и Северной Ирландии (The United Kingdom of Great Britain and Northern Ireland). I. Общие сведения В. ‒ островное государство на С. З. Европы; занимает… …   Большая советская энциклопедия

  • Великобритания — I Великобритания (Great Britain)         остров в Атлантическом океане, входящий в группу Британских островов (См. Британские острова). См. Великобритания (государство). II Великобритания (Great Britain)         официальное название Соединённое… …   Большая советская энциклопедия

  • Кипу — Тип: иное Языки: кечуа, аймара (в царстве Кольа), пукина (?) …   Википедия

  • Пуанкаре, Анри — Анри Пуанкаре Henri Poincaré Дата рождения: 29 апреля 1854(1854 04 29) Место рождения: Нанси …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»