Комбинированная система счисления

Комбинированная система счисления

В комбинированных системах счисления для записи чисел используются две или более систем счисления с разными основаниями. В общем случае возможно бесконечное множество комбинированных систем счисления.

В спаренных (сдвоенных, двойных) системах счисления используются две системы счисления.
В строенных (тройных) системах счисления используются три системы счсления.
В счетверённых (четверных) системах счисления используются четыре системы счисления.

Одинарные системы счисления

являются простыми (некомбинироваными) непозиционными системами счисления. В общем случае могут быть суммы, произведения, возведения в степень и другие функции от функций f(a_k),

$x_{a} = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1} a_{0},a_{-1} a_{-2}\dots a_{-(m-1)} a_{-m})_{a}=\Bigl[ F(f(a_k)) \Bigr]_{k=-m}^{n-1}$

но наибольшее распространение получили системы счисления с суммированием функций от a_k,

$x_{a} = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1} a_{0},a_{-1} a_{-2}\dots a_{-(m-1)} a_{-m})_{a} = \sum_{k=-m}^{n-1} f(a_k)$

n — число разрядов целой части числа,
m — число разрядов дробной части числа, от 0 до бесконечности, при m=0 числа — целые,
k — число от -m до n-1, номер разряда,
a — основание основной внутриразрядной системы счисления,
a_k — числа в разрядах из замкнутого множества a, цифры представляемого числа — x_a

при f(a_k)=a_k образуется непозиционная система счисления с единичным весовым коэффициентом во всех разрядах,

при f(a_k)=a_ka^k образуются показательные позиционные системы счисления с основанием a,

при m=0 и a_k=1 образуется непозиционная унарная система счисления,

при добавлении межразрядной функции во второй вспомогательной межразрядной системе счисления с основанием b — f(b, k), чаще всего в виде сомножителя, но могут быть и другие зависимости, образуются комбинированные сдвоенные системы счисления.

Сдво́енные системы счисления

Представляемое число x_{(a, b)} может быть записано в виде строки цифр с разделителями и индексами, что не полностью определяет число x_{(a, b)}, так как в такой записи нет весовых коэффициентов — f(b, k), которые подразумеваются, или может быть записано в виде суммы произведений, обозначающей полином, что тоже не полностью определяет число x(a, b), так как в такой записи отсутствуют цифры числа. Объединение обеих записей — строки и суммы полностью определяет число x(a, b), но местами избыточно и плохо вписывается в строку текста.

$x_{a,b} = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1} a_{0},a_{-1} a_{-2}\dots a_{-(m-1)} a_{-m})_{a,b} = \sum_{k=-m}^{n-1} a_k f(b,k)$, где:

b — число, основание вспомогательной межразрядной системы счисления,
f(b, k) — числа межразрядной функции, весовые коэффициенты,
если межрязрядная функция является показательной f(b, k)=b^k, то образуются показательные позиционные системы счисления с суммированием

$x_{a,b} = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1} a_{0},a_{-1} a_{-2}\dots a_{-(m-1)} a_{-m})_{a,b} = \sum_{k=-m}^{n-1} a_k b^k$, для которых существует теорема Джона фон Неймана о экономичности позиционных показательных (a,b)-ичных систем счисления^[1],

при m=0 образуются целые числа:

$x_{a,b} = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1} a_{0})_{a,b} = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k$, которые являются частями степенного ряда (число есмь ряд):

$F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n,$

в котором коэффициенты a_n берутся из некоторого кольца ${R}={a},~X=b,~n=k$, а верхний предел ограничен с $\infty$ до числа цифр в числе - n-1,

если межразрядная функция не зависит от номера разряда — k, f(b, k)=f(b), то образуются одинарные (простые, несдвоенные) непозиционные системы счисления,

если основание множества a, из которого берутся a_k, равно основанию межразрядной системы счисления b, то образуются (a,a)-ичные системы счисления, которые часто называют b-ричными системами счисления.

Сдвоенные позиционные показательные двоичные системы счисления

при a_k из a={0,1} и b=2 образуется (2,2)-ичная (обычная) двоичная система счисления:

$x_{2,2} = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1} a_{0},a_{-1} a_{-2}\dots a_{-(m-1)} a_{-m})_{2,2} = \sum_{k=-m}^{n-1} a(2)_k 2^k$, при m=0 образуются целые (2,2)-ичные (обычные двоичные) числа:

$x_{2,2} = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1} a_{0})_{2,2} = \sum_{k=0}^{n-1} a(2)_k 2^k$,

которые являются частичными (частными) суммами степенного ряда:

$F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n,$ в котором коэффициенты a_n берутся из кольца R=a={0,1}, X=2, n=k, а верхний предел в частных суммах ограничен с $\infty$ до n-1.

Число представимых чисел в позиционных системах счисления

Количество чисел, которое можно представить в системе счисления, с основанием a, равно n^a, где n - число используемых разрядов.

Однако, кроме этого можно оценить «экономичность» системы счисления. Предположим, что нам нужно отобразить с помощью карточек на экране трёхзначное число. В двоичной системе нам нужно 2 * 3 = 6 карточек, при этом мы сможем показать 2³ = 8 различных чисел. Если карточек меньше, то мы не сможем показать числа 0₁₀ = 000₂ или 7₁₀ = 111₂.

Пусть

a - основание системы счисления

n - число разрядов

z = n * a - количество карточек, использованных для представления всех различных чисел по данному основанию с данным количеством разрадов

n^a - количество представимых чисел

Теперь если мы выразим количество представимых чисел n^a от количества знаков n * a, мы и получим экономичность системы. Теперь можно также показать, какая система счисления наиболее экономичная.

Удельное натуральнологарифмическое число представимых чисел

$\ (z/a)ln(a)/z=(1/a)ln(a)=ln(a)/a$.

Зависимость удельного натуральнологарифмического числа представимых чисел от основания a позиционной системы счисления.

Необходимыми условиями существования экстремума функции являются существование первой производной и её равенство нулю. Первая производная функции $\ y(a)=ln(a)/a$ равна $\ dy/da=1/a^2-ln(a)/a^2$, т.е. существует. Приравняв её нулю $\ 1/a^2-ln(a)/a^2=0$, $\ ln(a)/a^2=a^2$, $\ ln(a)=1$, получим $\ a=e=2,71...$.
Достаточными условиями существования локального максимума являются $\ f'_+(a_0) < 0$ и $\ f'_-(a_0) > 0$. Так как слева от точки a=e производная положительная, а справа отрицательная, то, в точке a=е=2,71... функция действительно имеет строгий локальный максимум.
Из формулы и графика следует, что:
1. наибольшим удельным натуральнологарифмическим числом представимых чисел обладают системы счисления с внутриразрядным основанием - a=e=2,71...,
2. из целочисленных систем счисления наибольшим удельным натуральнологарифмическим числом представимых чисел обладают системы счисления с основанием a=3, системы счисления с основаниями a=2 и a=4 делят второе место.
3. при дальнейшем увеличении основания a системы счисления (более 4) удельное натуральнологарифмическое число представимых чисел ещё более уменьшается.

Плотность записи чисел в позиционных системах счисления

Если число представимых чисел от основания весовой функции - b и вида весовой функции - f(k)=b(k) не зависит, то диапазон представимых чисел и плотность записи чисел зависят и от основания весовой функции - b и от вида весовой функции - f(k)=b(k).

Сдвоенные позиционные показательные е-ричные системы счисления

Из показательных позиционных систем счисления наибольшим удельным натуральнологарифмическим числом представимых чисел обладают (e,b)-ричные системы счисления с основанием равным числу Эйлера (е=2,71…).^[1](§ 14. Об одном замечательном свойстве троичной системы. Стр.37-40.)

Применение (e,b)-ричных систем счисления в настоящее время затруднительно из-за отсутствия триггеров с нецелочисленным числом устойчивых состояний, но на целочисленных эвм возможно применение комбинированных (2,e)-ричной, (3,e)-ричной, (10,e)-ричной и других (a,е)-ричных систем счисления.
При a_k из a={0,1} и b=е=2,71… образуется (2,e)-ричная система счисления:

$x_{2,e} = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1} a_{0},a_{-1} a_{-2}\dots a_{-(m-1)} a_{-m})_{2,e} = \sum_{k=-m}^{n-1} a(2)_k e^k$

(2,е)-ричная система счисления хорошо подходит для вычислений в (2,е)-ричной системе счисления на двоичных эвм,
при m=0 образуются "(2,е)-целые" числа:

$x_{2,e} = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1} a_{0})_{2,e} = \sum_{k=0}^{n-1} a(2)_k e^k$, которые являются частями (частичными суммами или частными суммами ^[2](стр.533)) степенного ряда (так как число Эйлера является суммой ряда $e = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}$, то (2,е)-ричное число есмь ряд рядов):

$F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n = \sum_{k=0}^{n-1} a(2)_k e^k=\sum_{k=0}^{n-1} a(2)_k \left(\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}\right)^k$,

в котором коэффициенты a_n берутся из кольца R={0,1}, X=e, n=k, а верхний предел ограничен с $\infty$ до числа цифр в числе - n-1. Частные суммы являются суммами k-тых степеней числа Эйлера е=2,71... без членов, в которых a_k=0.

при а_k из a={0,1,2} и b=е=2,71… образуется (3,e)-ричная система счисления

$x_{3,e} = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1} a_{0},a_{-1} a_{-2}\dots a_{-(m-1)} a_{-m})_{3,e} = \sum_{k=-m}^{n-1} a(3)_k e^k$

(3,e)-ричная система счисления хорошо подходит для вычислений в (3,е)-ричной системе счисления на троичных эвм,

при a_k из a={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} и b=e=2,71… образуется (10,e)-ричная система счисления

$x_{10,e} = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1} a_{0},a_{-1} a_{-2}\dots a_{-(m-1)} a_{-m})_{10,e} = \sum_{k=-m}^{n-1} a(10)_k e^k$

(10,е)-ричная система хорошо подходит для вычислений в (10,е)-ричной системе счисления на эвм имеющих десятичную арифметику.

Перевод десятичных чисел в (2,е)-ричные числа

Перевод кратных е десятичных чисел ((2,e)-целых) в (2,e)-ричные числа ((2,e)-целые). 2,71..._10,10=е_10,10=1_2,e
5,44..._10,10=2e_10,10=10_2,e
8,15..._10,10=3e_10,10=11_2,e
...
27,1..._10,10=10e_10,10=1010_2,e
...
271,..._10,10=100e_10,10=1100100_2,e
...

Перевод (2,е)-ричных чисел в десятичные числа

Перевод (2,e)-целых чисел ((2,e)-целых) в десятичные дробные числа кратные e.
1_2,e=e_10,10=2,71..._10,10
10_2,e=2e_10,10=5,44..._10,10
11_2,e=3e_10,10=8,15..._10,10
...
1010_2,e=10e_10,10=27,1..._10,10
...
1100100_2,e=100e_10,10=271,..._10,10
...
$x_{10,10}=\sum_{k=0}^{n-1} a_k e^k=\sum_{k=n-1}^{0} a_k e^k$
Перевод дробных (2,e)-чисел в десятичные дробные числа.
$x_{10,10}=\sum_{k=-m}^{n-1} a_k e^k=\sum_{k=n-1}^{-m} a_k e^k$

Перевод двоичных чисел в (2,е)-ричные числа

Перевод (2,е)-ричных чисел в двоичные числа

Перевод троичных чисел в (2,е)-ричные числа

Перевод (2,е)-ричных чисел в троичные числа

Сдвоенные позиционные показательные троичные системы счисления

при a_k из a={0,1,2} и b=3 образуется (3,3)-ичная (обычная) троичная система счисления

$x_{3,3} = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1} a_{0},a_{-1} a_{-2}\dots a_{-(m-1)} a_{-m})_{3,3} = \sum_{k=-m}^{n-1} a(3)_k 3^k$

Сдвоенные позиционные показательные десятичные системы счисления

при a_k из a={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} и b=10 образуется (10,10)-ичная (обычная) десятичная система счисления

$x_{10,10} = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1} a_{0},a_{-1} a_{-2}\dots a_{-(m-1)} a_{-m})_{10,10} = \sum_{k=-m}^{n-1} a(10)_k 10^k$

Стро́енные показательные системы счисления

Частным случаем комбинированных систем счисления являются строенные показательные позиционные системы счисления с дополнительными весовыми коэффициентами разрядов, в которых используются три системы счисления:

1. внутриразрядная система с числами a_k, цифры которой используются для кодирования цифр внутри разрядов,
2. межразрядная система счисления с основанием b и
   
3. дополнительная система счисления с основанием c, например, в дополнительном сомножителе (b/c) в весовом коэффициенте разряда,

$x_{a,b,c} = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{a,b,c} = \sum_{k=-m}^{n-1} a_k b^k (b/c)$, где:

• n — число разрядов целой части числа,
• m — число разрядов дробной части числа.
• k — номер разряда,
• a — основание основной внутриразрядной системы счисления,
• a_k — цифры внутриразрядной системы счисления в числовых разрядах,
• b — основание межразрядной системы счисления,
• c — основание дополнительной системы счисления, в общем случае c≠b, при целом c образуются комбинированные (a, b,c)-ричные системы счисления, при c=b образуются обычные (a, b)-ричные позиционные системы счисления,

Стро́енные позиционные показательные e-ричные системы счисления

Числа x, кратные e/c, в (a,e,c)-ричных показательных позиционных системах счисления представляются в виде конечной линейной комбинации произведений степеней числа e («е/c-целые») на дополнительные весовые коэффициенты (е/с):

$x_{a,e,c} = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{a,e,c} = \sum_{k=0}^{n-1} a_k e^k (e/c)$, где:

e^k — основной весовой коэффициент разрядов,
c — основание вспомогательной системы счисления, число цифр используемых для записи одного (a,е,c)-ричного разряда,
(e/c) — дополнительный весовой коэффициент разрядов,
a_k — (a,e,c)-ричные цифры, которые
в (a,е,2)-ричной системе счисления могут принимать только два значения: 0 или 1 с весами цифр 0*е/2 и 1*е/2;
в (a,e,3)-ричной системе счисления могут принимать три значения: 0, 1 и 2 с весами цифр 0*е/3, 1*e/3 и 2*е/3;
в (a,e,10)-ричной системе счисления могут принимать десять значений: от 0 до 9 с весами цифр 0*е/10, 1*e/10, 2*e/10, 3*e/10, 4*e/10, 5*e/10, 6*e/10, 7*e/10, 8*e/10 и 9*e/10.
Числа $\ x$, некратные e/c, представляются в виде «е/c-дробных» чисел:

$x_{a,e,c} = (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{a,e,c} = \sum_{k=-m}^{n-1} a_k e^k (e/c)$, где:

m — число знаков «е/с-дробной» части числа (справа от запятой).

(a,е,2)-ричная система счисления хорошо подходит для вычислений в е-ричной системе счисления на двоичных ЭВМ.
(a,e,3)-ричная система счисления хорошо подходит для вычислений в е-ричной системе счисления на троичных ЭВМ.
(a,е,10)-ричная система хорошо подходит для вычислений в е-ричной системе счисления на ЭВМ имеющих десятичную арифметику.
Как можно заметить, в (a,е,c)-ричных системах счисления для записи чисел в разрядах возможны цифры неравные межразрядному основанию системы счисления — е.

См. также

• Системы счисления
• Позиционные системы счисления
• Двоичная система счисления
• Троичные системы счисления
• Десятичная система счисления
• Е-ричная система счисления

Ссылки

1. ↑ ^{1 2} Популярные лекции по матеметике. Выпуск 40. С. В. Фомин. Системы счисления. Издание пятое. Москва, «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1987
2. ↑ http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/handbooks.htm Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике (12-е изд.). М.: Наука, 1977 (djvu)

• С. В. Фомин Системы счисления. — М.: Наука, 1987. — 48 с. — (Популярные лекции по математике). (§ 14. Об одном замечательном свойстве троичной системы. Стр.39-40, Рис.4)