Гладкое расслоение

Гладкое расслоение — локально тривиальное расслоение с гладкими функциями перехода.

Определение

Пусть $Y$ и $X$ — гладкие многообразия. Эпиморфизм многообразий $\pi\colon Y\to X$ называется гладким расслоением, если существуют: открытое покрытие $(U_i)$ многообразия $X$, многообразие $V$ и семейство диффеоморфизмов $\varphi_i\colon\pi^{-1}(U_i)\to U_i\times V$, связанных гладкими функциями перехода $\rho_{ij}=\varphi_i\varphi_j^{-1}$ на $U_i\cap U_j\times V$.

Гладкое расслоение является локально тривиальным расслоением с пространством расслоения $Y$, базой $X$, типичным слоем $V$ и атласом расслоения $(U_i,\;\varphi_i,\;\rho_{ij})$. Замкнутое подмногообразие $\pi^{-1}(x)\subset Y$ называется типичным слоем гладкого расслоения в точке $x\in X$.

Примеры

• Векторное расслоение, в частности касательное расслоение
• Главное расслоение

Свойства

• Пространство расслоения $Y$ наделено координатным атласом $(x^\mu,\;y^a)$, где $(y^a)$ — координаты на $V$ и $(x^\mu)$ — координаты на $X$, функции перехода которых не зависят от координат $(y^a)$.
• Для всякой точки $x\in X$ существует открытая окрестность $U$ и вложение $s\colon U\to Y$, такое что $\pi\circ s=\mathrm{Id}\,(U)$. Это отображение называется (локальным) сечением гладкого расслоения.

Вариации и обобщения

• Слоение

Литература

• Greub W., Halperin S., Vanstone R. Connections, curvature and cohomology, vol. I—III. — N.-Y.: Academic Press, 1972—1976.
• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
• Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 1. Геометрия и классические поля. — М.: УРСС, 1996. — 224 с. — ISBN 5-88417-087-4.