Поток (интуиционизм)


Поток (интуиционизм)

Пото́к — одно из основных понятий интуиционистской математики.

Определение

Поток M определяется как совокупность двух законов \Lambda_M и \Gamma_M, называемых законом потока и дополнительным законом, соответственно. Закон потока \Lambda_M делит кортежи натуральных чисел на допустимые и недопустимые, и должен обладать следующими свойствами:

  1. Пустой кортеж \langle\rangle является допустимым.
  2. Для любого допустимого кортежа \langle a_1,\ldots,a_n\rangle найдётся по меньшей мере одно натуральное число k, для которого кортеж \langle a_1,\ldots,a_n,k\rangle также будет допустимым.
  3. Для любого допустимого кортежа вида \langle a_1,\ldots,a_n,k\rangle кортеж \langle a_1,\ldots,a_n\rangle также является допустимым.

Дополнительный закон \Gamma_M сопоставляет допустимым кортежам произвольные математические объекты.

Свободно становящиеся последовательности натуральных чисел \{a_k\}_{k=1}^{\infty}, для которых при любом n кортеж \langle a_1,\ldots,a_n\rangle является допустимым по закону потока M, называются допустимыми свободно становящимися последовательностями. Отвечающие им последовательности \{\Gamma_M(a_k)\}_{k=1}^{\infty} (где \Gamma_M — дополнительный закон потока M) называются элементами потока M.

Образно поток может быть представлен как дерево, из каждой вершины которого выходит по меньшей мере одна ветвь, и на каждую вершину которого «навешен» тот или иной математический объект. Допустимые свободно становящиеся последовательности натуральных чисел можно представлять в виде бесконечных путей в таком дереве.

Применение в интуиционистской математике

На понятии потока основаны многие конструкции интуиционистского анализа. Так, континуум [0,1] нередко рассматривается в интуиционистской математике как следующий поток рациональных отрезков:

  1. допустимыми по закону потока считаются кортежи, все элементы которых равны 1 или 2;
  2. если допустимому кортежу \langle a_1,\ldots,a_n\rangle дополнительным законом сопоставлен отрезок [a,b], то кортежу \langle a_1,\ldots,a_n,1\rangle сопоставляется отрезок [a,(a+b)/2], а кортежу \langle a_1,\ldots,a_n,2\rangle — отрезок [(a+b)/2,b].

Элементы этого потока считаются вещественными числами, лежащими на отрезке [0,1].

Запирающие условия и бар-индукция

Пусть \mathcal K — некоторое условие, накладываемое на допустимые кортежи. Такое условие называется запирающим поток, если для любой допустимой по закону потока свободно становящейся последовательности \{a_n\}_{n=1}^{\infty} найдётся номер n, для которого кортеж \langle a_1,\ldots,a_n\rangle удовлетворяет условию \mathcal K. В интуиционистской математике считается приемлемым следующий способ умозаключения:

Пусть условие \mathcal K запирает поток M, и пусть условие \mathcal T, накладываемое на допустимые кортежи потока M, обладает следующими свойствами:

  1. Любой допустимый кортеж, удовлетворяющий условию \mathcal K, удовлетворяет условию \mathcal T.
  2. Если все допустимые кортежи вида \langle a_1,\ldots,a_n,k\rangle удовлетворяют условию \mathcal T, то допустимый кортеж \langle a_1,\ldots,a_n\rangle также удовлетворяет условию \mathcal T.

В таком случае пустой кортеж удовлетворяет условию \mathcal T.

Такой способ умозаключения называется бар-индукцией.

Одним из характерных примеров применения бар-индукции является принадлежащая Л. Э. Я. Брауэру теорема о веере:

«если поток M финитарен (то есть из каждой его вершины выходит лишь конечное число ветвей) и условие \mathcal K запирает поток M, то найдётся такое натуральное число N, что для любой допустимой свободно становящейся последовательности \{a_k\}_{k=1}^{\infty} найдётся удовлетворяющий условию \mathcal K кортеж \langle a_1,\ldots,a_n\rangle со свойством n<N

В теоретико-множественной математике аналогичное утверждение известно под именем «леммы Кёнига».



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Поток (интуиционизм)" в других словарях:

  • Поток — Поток: В Викисловаре есть статья «поток» Поток  постоянное перемещение масс жидкости или газа в определённом направлении …   Википедия

  • ПОТОК — понятие интуиционистской математики (см. Интуиционизм);совокупность, вид, состоящий из конечных кортежей натуральных чисел, называемых узлами П. (или допустимыми кортежами П.). Точнее, вид П кортежей натуральных чисел наз. потоком, если… …   Математическая энциклопедия

  • ИНТУИЦИОНИЗМ — совокупность философских и математич. идей и методов, рассматривающих математику как науку об умственных построениях. С точки зрения И., основным критерием истинности математич. суждения является интуитивная убедительность возможности построения… …   Математическая энциклопедия

  • Интуиционизм — Интуиционизм  система философских и математических идей и методов, связанных с пониманием математики как совокупности «интуитивно убедительных» умственных построений. С точки зрения интуиционизма, основным критерием истинности… …   Википедия

  • Интуиционистская логика — Интуиционизм  система философских и математических идей и методов, связанных с пониманием математики как совокупности «интуитивно убедительных» умственных построений. С точки зрения интуиционизма, основным критерием истинности математического… …   Википедия

  • ВЕЕР — финитарный поток, поток . такой, что для всякого узла из существует лишь конечное число натуральных k, для к рых является узлом . На языке формального интуиционистского математич. анализа формула , выражающая понятие функция …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.