Биметрические теории гравитации

Биметрические теория гравитации — альтернативные теории гравитации, в которых вместо одного метрического тензора используются два или более. Часто вторая метрика вводится только при высоких энергиях, в предположении, что скорость света может иметь зависимость от энергии. Наиболее известными примерами биметрических теорий являются теория Розена и релятивистская теория гравитации (последняя — в канонической трактовке).

Биметрическая теория Розена

В общей теории относительности предполагается, что расстояние между двумя точками в пространстве-времени определяется метрическим тензором. Уравнения Эйнштейна используются затем для расчета формы метрики на основании распределения энергии.

Натан Розен (1940) предложил в каждой точке пространства-времени ввести в дополнение к риманову метрическому тензору $g_{ij}$ евклидов метрический тензор $\gamma_{ij}$ . Таким образом, в каждой точке пространства-времени мы получаем две метрики:

$ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}$

$d\sigma^{2}=\gamma_{ij} dx^{i} dx^{j}$

Первый метрический тензор $g_{ij}$ описывает геометрию пространства-времени и, таким образом, гравитационное поле. Второй метрический тензор $\gamma_{ij}$ относится к плоскому пространству-времени и описывает инерционные силы. Символы Кристоффеля, сформированные из $g_{ij}$ и $\gamma_{ij}$, обозначим $\{^{i}_{jk}\}$ и $\Gamma^{i}_{jk}$ соответственно. $\Delta$ определим таким образом, чтобы

$\Delta^{i}_{jk}=\{^{i}_{jk}\}-\Gamma^{i}_{jk}~~~~~~~~~~~~~~(1)$

Теперь возникают два вида ковариантного дифференцирования: $g$-дифференцирование, основанное на $g_{ij}$ — обозначается точкой с запятой (;), и 3-дифференцирование на основе $\gamma_{ij}$ — обозначается символом / (обычные частные производные обозначаются запятой (,)). $R^{\lambda}_{ij \sigma}$ и $P^{\lambda}_{ij \sigma}$ будут тензорами кривизны, рассчитываемыми из $g_{ij}$ и $\gamma_{ij}$ соответственно. На основе вышеизложенного подхода, в том случае, когда $\gamma_{ij}$ описывает плоскую пространственно-временную метрику, тензор кривизны $P^{\lambda}_{ij \sigma}$ равен нулю.

Из (1) следует, что хотя $\{^{i}_{jk}\}$ и $\Gamma$ не являются тензорами, но $\Delta$ — тензор, имеющий такую же форму, как $\{^{i}_{jk}\}$, за исключением того, что обычная частная производная заменяется 3-ковариантной производной. Простой расчет приводит к

$R^{h}_{ijk}=-\Delta^{h}_{ij/k}+\Delta^{h}_{ik/j}+\Delta^{h}_{mj}\Delta^{m}_{ik}-\Delta^{h}_{mk}\Delta^{m}_{ij}$

Каждый член в правой стороне этого соотношения является тензором. Видно, что от общей теории относительности, можно перейти к новой теории, заменив $\{^{i}_{jk}\}$ на $\Delta$, обычное дифференцирование на 3-ковариантное дифференцирование, $\sqrt {-g}$ на $\sqrt{\frac{g}{\gamma}}$, элемент интегрирования $d^{4}x$ на $\sqrt {-\gamma}d^{4}x$, где $g = det(g_{ij})$, $\gamma = det(\gamma_{ij})$ и $d^{4}x = dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4}$. Необходимо отметить, что, как только мы ввели $\gamma_{ij}$ в теорию, то в нашем распоряжении оказывается большое число новых тензоров и скаляров. Таким образом, можно получить уравнения поля, отличающиеся от уравнений поля Эйнштейна.

Уравнение для геодезической в биметрической теории относительности (БТО) принимает форму

$\frac{d^2x}{ds^2}+\Gamma^{i}_{jk}\frac{dx^{j}}{ds}\frac{dx^{k}}{ds}+\Delta^{i}_{jk}\frac{dx^{j}}{ds}\frac{dx^{k}}{ds}=0~~~~~~~~~~~~~~(2)$

Из уравнений (1) и (2) видно, что можно считать, что $\Gamma$ описывает инерциальное поле, поскольку $\Gamma$ исчезает при помощи подходящего преобразования координат. Свойство же $\Delta$ быть тензором не зависит от каких-либо систем координат, и, следовательно, можно полагать, что $\Delta$ описывает постоянное гравитационное поле.

Розеном (1973) были найдены биметрические теории, удовлетворяющие принципу эквивалентности. В 1966 г. Розен показал, что введение плоской пространственной метрики в рамках общей теории относительности не только позволяет получить плотность энергии-импульса тензора гравитационного поля, но также позволяет получить этот тензор из вариационного принципа. Уравнение поля в БТО, полученное из вариационного принципа

$K^{i}_{j}= N^{i}_{j}-\frac{1}{2}\delta^{i}_{j}N = -8 \pi \kappa T^{i}_{j}~~~~~~~~~~~~~~(3)$

где

$N^{i}_{j}=\frac{1}{2}\gamma^{\alpha \beta}(g^{hi} g_{hj /\alpha})_{/ \beta}$

или

$N^{i}_{j}= \gamma^{\alpha \beta}\left\{(g^{hi}g_{hj, \alpha}),\beta - (g^{hi}g_{mj}\Gamma^{m}_{h\alpha}),\beta\right\} - \gamma^{\alpha \beta}(\Gamma^{i}_{j\alpha}),\beta + \Gamma^{i}_{\lambda \beta}[g^{h\lambda}g_{hj},\alpha - g^{h\lambda}g_{mj}\Gamma^{m}_{h\alpha} - \Gamma^{\lambda}_{j\alpha}]-\Gamma^{\lambda}_{j\beta}[g^{hi}g_{h\lambda},\alpha - g^{hi}g_{m\lambda}\Gamma^{m}_{h\alpha} -\Gamma^{i}_{\lambda\alpha}]$

$+ \Gamma^{\lambda}_{\alpha \beta}[g^{hi}g_{hj},\lambda - g^{hi}g_{mj}\Gamma^{m}_{h\lambda} -\Gamma^{i}_{j\lambda}]$

$N= g^{ij}N_{ij}, \kappa=\sqrt{\frac{g}{\gamma}},$

и $T^{i}_{j}$ - тензор энергии-импульса. Вариационный принцип приводит также к связи

$T^{i}_{j;i}=0.$

Поэтому из (3)

$K^{i}_{j;i}=0,$

что подразумевает, что пробная частица в гравитационном поле движется по геодезической по отношению к $g_{ij}$. Физические следствия такой теории, впрочем, не отличаются от общей теории относительности.

При ином выборе исходных уравнений биметрические теории и ОТО различаются в следующих случаях:

• Распространение электромагнитных волн
• Внешнее поле звезд высокой плотности
• Распространение интенсивных гравитационных волн через сильное статическое гравитационное поле

Ссылки

• N. Rosen (1940). «General Relativity and Flat Space. I». Phys. Rev. 57 (2): 147-150. DOI:10.1103/PhysRev.57.147.
• N. Rosen (1940). «General Relativity and Flat Space. II». Phys. Rev. 57 (2): 150-153. DOI:10.1103/PhysRev.57.150.
• N. Rosen (1973). «A bi-metric theory of gravitation». General Relativity and Gravitation 4 (6): 435-447. DOI:10.1007/BF01215403.
• N. Rosen (1975). «A bi-metric theory of gravitation. II». General Relativity and Gravitation 6 (3): 259-268. DOI:10.1007/BF00751570.

Теории гравитации
Стандартные теории гравитации	Альтернативные теории гравитации	Квантовые теории гравитации	Единые теории поля
Классическая физика Теория тяготения Ньютона Релятивистская физика Общая теория относительности Математическая формулировка общей теории относительности Гамильтонова формулировка общей теории относительности Принципы Принцип эквивалентности сил гравитации и инерции Принцип Маха Геометродинамика (англ.)	Классические Теория гравитации Лесажа Модифицированная ньютоновская динамика Релятивистские Релятивистская теория гравитации Калибровочная теория гравитации Гравитация с массивным гравитоном Телепараллелизм Теория Нордстрёма Теория Бранса — Дикке Биметрические теории гравитации Несимметричные теории гравитации Теория гравитации Уайтхеда (англ.) Теория Эйнштейна — Картана	Каноническая квантовая гравитация Петлевая квантовая гравитация Полуклассическая гравитация (англ.) Причинная динамическая триангуляция (англ.) Евклидова квантовая гравитация Уравнение Уилера — Девитта (англ.) Индуцированная гравитация (англ.) Некоммутативная геометрия (англ.)	Многомерные Общая теория относительности в многомерном пространстве Теория Калуцы — Клейна Супергравитация Струнные Теория струн Теория суперструн М-теория Прочие Исключительно простая теория всего