Теорема о бабочке

Теорема о бабочке
Babochka.png

Теорема о бабочке является классической теоремой планиметрии. Опубликована в 1815 году в английском мужском журнале «Gentleman's Diary» (англ.). Её авторство приписывают английскому математику Уильяму Джорджу Горнеру. Сформулировать её можно следующим образом:

Пусть через точку М, являющуюся серединой хорды PQ некоторой окружности, проведены две произвольные хорды АВ и CD той же окружности. Пусть хорды AD и ВС пересекают хорду PQ в точках X и Y. Тогда М является серединой отрезка XY.


Содержание

О доказательствах

Доказательство

Теорема о бабочке имеет большое число различных доказательств, как в рамках элементарной геометрии, так и использующих методы, выходящие за её пределы (например, средства проективной геометрии).

  • При помощи проецирования двойных отношений: Рассмотрим двойное отношение точек (P,M,X,Q), и спроецируем его на окружность из точки A. Точки P и Q перейдут сами в себя, так как принадлежат окружности, а точки M и X перейдут в точки B и D соответственно. Получаем (P,M,X,Q)=(P,B,D,Q) (последнее следует трактовать как двойное отношение точек на комплексной плоскости). Проецируем обратно на прямую PQ с центром в точке C, получаем (P,M,X,Q)=(P,Y,M,Q). Распишем двойное отношение по определению, получим необходимое равенство.

Вариации и обобщения

Обобщение Шарыгина[1].

Пусть на окружности дана хорда AB, на ней — точки M и N, причём AM = BN. Через точки M и N проведены хорды PQ и RS, соответственно. Прямые QS и RP пересекают хорду AB в точках K и L. Доказать, что AK = BL.


Ссылки

  • Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
  • Ченцов Н. Н., Шклярский Д. О., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (планиметрия). — М.: Гостехиздат, 1952.

Примечания

  1. В. Ю. Протасов, В. М. Тихомиров. Геометрические шедевры И. Ф. Шарыгина. В книге «Геометрические олимпиады имени И. Ф. Шарыгина», стр. 146

Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Теорема о бабочке" в других словарях:

  • Бабочка (значения) — В Викисловаре есть статья «бабочка» Бабочка (англ. Butterfly; баттерфляй)  это не только отряд насекомых, также называемый Чешуекрылые, а также: Галстук бабочка  фасон галстука в форме ба …   Википедия

  • Симметрия — I Симметрия (от греч. symmetria соразмерность)         в математике,          1) симметрия (в узком смысле), или отражение (зеркальное) относительно плоскости α в пространстве (относительно прямой а на плоскости), преобразование пространства… …   Большая советская энциклопедия

  • Машина для голосования — Машина для голосования  устройство для автоматической регистрации и подсчёта голосов избирателей. Термин объединяет всё разнообразие применяемых на выборах приборов: механических, электромеханических, электронных. Основной задачей машин для… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»