Размерность Вапника — Червоненкиса

Размерность Вапника — Червоненкиса

Размерность Вапника — Червоненкиса или VC-размерность — это характеристика семейства алгоритмов для решения задачи классификации с двумя классами, характеризующая сложность или ёмкость этого семейства. Это одно из ключевых понятий в теории Вапника-Червоненкиса о статистическом машинном обучении, названное в честь Владимира Вапника и Алексея Червоненкиса.

Сами Вапник и Червоненкис предпочитают называть эту величину комбинаторной размерностью, так как, как выяснилось, она была известна алгебраистам еще до открытия их теории машинного обучения.^[1]

Определение

Пусть задано множество X и некоторое семейство индикаторных функций (алгоритмов классификации, решающих правил) $\mathcal{F} = \{ f(x, \alpha) \}$, где $x \in X$ — аргумент функций, α — вектор параметров, задающий функцию. Каждая такая функция f(x,α) сопоставляет каждому элементу множества X один из двух заданных классов. VC-размерностью семейства $\mathcal{F}$ называется наибольшее число h, такое, что существует подмножество из h элементов множества X, которые функции из $\mathcal{F}$ могут разбить на два класса всеми возможными способами. Если же такие подмножества существуют для сколь угодно большого h, то VC-размерность полагается равной бесконечности.

VC-размерность можно обобщить и на случай семейства функций {g(x,α)}, принимающих действительные значения. Его VC-размерность определяется, как VC-размерность семейства индикаторных функций {I(g(x,α) > β)}, где β пробегает область значений функций g.^[2]

Примеры

Как пример, рассмотрим задачу о разбиении точек на плоскости на два класса прямой линией — это так называемый линейный классификатор. Множество из любых трёх точек, не лежащих на одной прямой, может быть разделено прямой линией на два класса всеми возможными способами (2³ = 8 способами, на рисунке ниже показаны два из них), но множества из четырёх и более точек — уже нет. Поэтому VC-размерность линейного классификатора на плоскости равна трём.

Примеры разделения трёх точек на два класса		Разделение невозможно для этих четырёх точек

В общем случае, VC-размерность линейных классификаторов в n-мерном пространстве равна n + 1.

Примечания

1. ↑ Лекции А. А. Червоненкиса в школе анализа данных Яндекса, стр. 114.
2. ↑ Hastie, T., Tibshirani R., Friedman J. Chapter 7.9. Vapnik–Chervonenkis Dimension // The Elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference, and Prediction. — 2nd ed. — Springer-Verlag, 2009. — 746 p. — ISBN 978-0-387-84857-0.